康托展开
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,因此是可逆的。
以下称第x个全排列都是指由小到大的顺序。
公式
其中, 为整数,并且 。
的意义参见举例中的解释部分
举例
例如,3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
解释:
排列的第一位是3,比3小的数有两个,以这样的数开始的排列有8!个,因此第一项为2*8!
排列的第二位是5,比5小的数有1、2、3、4,由于3已经出现,因此共有3个比5小的数,这样的排列有7!个,因此第二项为3*7!
以此类推,直至0*0!
用途
显然,n位(0~n-1)全排列后,其康托展开唯一且最大约为n!,因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出唯一的一个排列。
康托展开的逆运算
既然康托展开是一个双射,那么一定可以通过康托展开值求出原排列,即可以求出n的全排列中第x大排列。
如n=5,x=96时:
首先用96-1得到95,说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1) 用95去除4! 得到3余23,说明有3个数比第1位小,所以第一位是4. 用23去除3! 得到3余5,说明有3个数比第2位小,所以是4,但是4已出现过,因此是5. 用5去除2!得到2余1,类似地,这一位是3. 用1去除1!得到1余0,这一位是2. 最后一位只能是1. 所以这个数是45321.
按以上方法可以得出通用的算法。
参考文献
- Thomas H. Cormen (EDT),Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms,Third Edition. USA: The MIT Press. ISBN 978-0-262-03384-8 (英语).