嵌入下推自动机

EPDA 最初由 K. Vijay-Shanker 在他 1998 年的博士论文中描述^[1]。它们已经被应用于更完整的描述适度上下文有关文法类，并向乔姆斯基层级扩展和精细了这个文法类。各种子文法，比如线性附标文法可以从而定义^[2]。它们还在自然语言处理中扮演重要角色。

尽管自然语言有使用上下文无关文法来分析的传统(参见转换-生成语法和计算语言学)，但这个模型不适合有交叉依赖的语言如荷兰语，而 EPDA 就适合。详细的语言分析可见于引文^[3]。

首先重申 EPDA 是有一组其自身可以通过“嵌入栈”来访问的栈的有限状态机，每个栈包含“栈字母表” ${\displaystyle \Gamma \,}$  的元素，并且我们通过 ${\displaystyle \,\sigma _{i}\in \Gamma ^{*}}$  定义一个栈的元素，这里的星号是字母表的Kleene闭包。

每个栈都可以依据它的元素来定义，所以我们使用双剑符号来指示在自动机中的第 ${\displaystyle \,j}$  个栈: ${\displaystyle \,\Upsilon _{j}=\ddagger \sigma _{j}=\{\sigma _{j,k},\sigma _{j,k-1},\ldots ,\sigma _{j,1}\}}$ ，这里的 ${\displaystyle \,\sigma _{k}}$  将是在栈中的下一个可访问的符号。${\displaystyle \,m}$  个栈的“嵌入栈”因此可以指示为 ${\displaystyle \,\{\Upsilon _{j}\}=\{\ddagger \sigma _{m},\ddagger \sigma _{m-1},\ldots ,\ddagger \sigma _{1}\}\in (\ddagger \Gamma ^{+})^{*}}$ 。

我们定义 EPDA 为七元组

${\displaystyle \,M=(Q,\Sigma ,\Gamma ,\delta ,q_{0},Q_{\textrm {F}},\sigma _{0})}$  这里的

• ${\displaystyle \,Q}$  是“状态”的有限集合；
• ${\displaystyle \,\Sigma }$  是“输入字母表”的有限集合；
• ${\displaystyle \,\Gamma }$  是“栈字母表”的有限集合；
• ${\displaystyle \,q_{0}\in Q}$  是“开始状态”；
• ${\displaystyle \,Q_{\textrm {F}}\subseteq Q}$  只“最终状态”的集合；
• ${\displaystyle \,\sigma _{0}\in \Gamma }$  是“初始栈符号”
• ${\displaystyle \,\delta :Q\times \Sigma \times \Gamma \rightarrow S}$  是“转移函数”，这里的 ${\displaystyle \,S}$  是 ${\displaystyle \,Q\times (\ddagger \Gamma ^{+})^{*}\times \Gamma ^{*}\times (\ddagger \Gamma ^{+})^{*}}$  的有限子集。

所以转移函数选取一个状态，输入字符串的下一个符号，和当前栈的顶符号；并生成下一个状态，在“嵌入栈”上要压入和弹出的那些栈，当前栈的压入和弹出，和要在下一个转移中被当作当前栈的栈。更加概念的说，“嵌入栈”是被压入和弹出的，当前栈被随意的压回到“嵌入栈”，而你希望的任何其他栈将被压入它的顶部，带有最后的栈是在下一个重复中所读取的。所以，这些栈被同时压入当前栈的上面和下面。

一个给定的格局被定义为

${\displaystyle \,C(M)=\{q,\Upsilon _{m}\ldots \Upsilon _{1},x_{1},x_{2}\}\in Q\times (\ddagger \Gamma ^{+})^{*}\times \Sigma ^{*}\times \Sigma ^{*}}$ 

这里的 ${\displaystyle \,q}$  是当前状态，${\displaystyle \,\Upsilon }$  是在“嵌入栈”中的栈，带有 ${\displaystyle \,\Upsilon _{m}}$  是当前栈，而对于输入字符串 ${\displaystyle \,x=x_{1}x_{2}\in \Sigma ^{*}}$ , ${\displaystyle \,x_{1}}$  是已经被机器处理的那部分字符串，而 ${\displaystyle \,x_{2}}$  是要处理的那部分，带有它的头部是当前所读的符号。注意空串 ${\displaystyle \,\epsilon \in \Sigma }$  被隐含的定义为终止符号，如果机器处于最终状态此时读到空串，则整个输入字符串被“接受”，如果不是则“拒绝”。这种“接受”了的字符串是如下语言的元素

${\displaystyle \,L(M)=\left\{x|\{q_{0},\Upsilon _{0},\epsilon ,x\}\rightarrow _{M}^{*}\{q_{\textrm {F}},\Upsilon _{m}\ldots \Upsilon _{1},x,\epsilon \}\right\}}$ 

这里的 ${\displaystyle \,q_{\textrm {F}}\in Q_{\textrm {F}}}$  而 ${\displaystyle \,\rightarrow _{M}^{*}}$  定义转移函数按需要而多次应用来分析这个字符串。