二年级之梦此条目需要补充更多来源。 (2022年7月22日)请协助补充多方面可靠来源以改善这篇条目,无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。致使用者:请搜索一下条目的标题(来源搜索:"二年级之梦" — 网页、新闻、书籍、学术、图像),以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源(判定指引)。二年级之梦(sophomore's dream)是约翰·白努利于1697年发现的两条有趣的数学恒等式。 ∫ 0 1 1 x x d x = ∑ n = 1 ∞ 1 n n ( = 1.29128599706266354040728259059560054149861936827 … ) ∫ 0 1 x x d x = − ∑ n = 1 ∞ ( − n ) − n ( = 0.78343051071213440705926438652697546940768199014 … ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}&&\scriptstyle {(=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots })\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&\scriptstyle {(=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}} 名称来自于与之相对的一年级之梦,也就是“ (x + y)n = xn + yn ”。两个梦都带有数学吓人的简单表达方式,然而一年级之梦为错误的方程式,因为只要将 n = 2 {\displaystyle n=2} 带入就会发现无法形成等式;但是二年级之梦却是正确的式子。 证明 在座标上,两公式的关系。 第一条公式,首先利用对数转换和积分与级数顺序变化[1]: 对数转换 x x = e x ( ln x ) {\displaystyle x^{x}=e^{x(\ln x)}} 指数函数的自然展开 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} 得到 ∫ 0 1 − x x d x = ∫ 0 1 ∑ n = 0 ∞ ( − x ln x ) n n ! d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 1 ( − ln x ) n ∗ x n n ! d x . {\displaystyle \int _{0}^{1}-x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x\ln x)^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}*x^{n}}{n!}}\,dx.} 设 u = ( − ln x ) {\displaystyle u=(-\ln x)} 所以 ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 1 ( − ln x ) n ∗ x n n ! d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ ∞ 0 u n e − n u n ! ( − e − u ) d u = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 ∞ u n e − n u n ! ( e − u ) d u {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}*x^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{\infty }^{0}{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(-e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du} 再设 v = ( n + 1 ) u {\displaystyle v=(n+1)u} ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 ∞ u n e − n u n ! ( e − u ) d u = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( n + 1 ) n + 1 ∫ 0 ∞ v n e − v d v {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv} 根据Gamma函数 ∫ 0 ∞ v n e − v d v = Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\Gamma (n+1)=n!} 最终推得 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( n + 1 ) n + 1 ∫ 0 ∞ v n e − v d v = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 ) n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}} 关联条目 菲涅耳积分参考 ^ BriTheMathGuy. The Integral of your Dreams (or Nightmares). YouTube. [2022-07-21]. (原始内容存档于2022-07-22). (页面存档备份,存于互联网档案馆)