格林恒等式(Green's identities)乃是向量分析的一组共三条恒等式,以发现格林定理的英国数学家乔治·格林命名。
格林第一恒等式
设定向量场 ;其中,在 的某区域 内, 是二次连续可微标量函数, 是一次连续可微标量函数,则从散度定理,
- ,
可以推导出格林第一恒等式[1]:
- ;
其中, 是区域 的边界, 是取于边界面 的法向导数,即 。
格林第二恒等式
假若在区域 内, 和 都是二次连续可微,则可交换 与 ,从 的格林第一恒等式得到 的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减,则可得到格林第二恒等式:
- 。
格林第三恒等式
假设函数 是拉普拉斯方程式的基本解(fundamental solution):
- ;
其中, 是狄拉克δ函数。
例如,在R3,基本解的形式为
- 。
函数 称为格林函数。对于变数 与 的交换,格林函数具有对称性,即 。
设定 ,在区域 内, 是二次连续可微。假若 在积分区域 内,则应用狄拉克δ函数的定义,
- ;
其中, 、 分别积分 于
这是格林第三恒等式。假若 是调和函数,即拉普拉斯方程式的解:
- ,
则这恒等式简化为
- 。
参阅
- 向量恒等式列表
- 数学恒等式列表 (List of mathematical identities)
- 向量微积分恒等式 (Vector calculus identities)
参考文献
- ^ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.