范德蒙恒等式

范德蒙恒等式(英文:Vandermonde's Identity)是一个有关组合数的求和公式。

证明

组合方法

甲班有  个同学,乙班有  个同学,从两个班中选出  个同学有 种方法。

从甲班选  名,从乙班选  名有 种方法,考虑所有情况 ,从两个班中合计  选出个同学有  种方法。

所以  [1]

母函数方法

注意到

 

等号左边化简成

 

等号右边则根据定义

 

比较  系数,可得

 [1]

推广

多变量型

 

其中 [2]

展开 可得以上结论。

超几何函数

范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。

  [3]

 

 

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 李松槐 杨伏香. 用数学模型证明范得蒙(Vandermonde)恒等式. 河南教育学院学报(自然科学版). 1999, (2) [2015-09-20]. (原始内容存档于2020-01-15). 
  2. ^ Hac`ene Belbachir. A combinatorial contribution to the multinomial Chu-Vandermonde convolution (PDF). RECITS Laboratory. 2014 [2018-06-12]. (原始内容 (PDF)存档于2020-11-30). 
  3. ^ Bailey, W.N. Generalized Hypergeometric Series (PDF). Cambridge University Press. 1935 [2018-06-12]. (原始内容 (PDF)存档于2017-06-24).