帕斯卡法则此条目没有列出任何参考或来源。 (2010年12月29日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。提示:此条目的主题不是帕斯卡定律。 帕斯卡法则是组合数学上的一个关于二项式系数的恒等式。它说明对于正整数 n {\displaystyle n} , k {\displaystyle k} ( k ≤ n {\displaystyle k\leq n} ), ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) = ( n k ) {\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}} 。 目录 1 组合数学上的意义和证明 2 代数证明 3 推广 4 参见 组合数学上的意义和证明 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} 表示在有 n {\displaystyle n} 个元素的集内,有 k {\displaystyle k} 个元素的子集的数目。其实这些子集之中,可分为包含第一个元素的和不含第一个元素的。包含第一个元素的子集有 ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {n-1 \choose k-1}} 个,不含的有 ( n − 1 k ) {\displaystyle {n-1 \choose k}} 个。 代数证明 ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) = ( n k ) {\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}} 重写左边为 ( n − 1 ) ! k ! ( n − k − 1 ) ! + ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! = ( n − k ) ( n − 1 ) ! ( n − k − 1 ) ! k ! ( n − k ) + k ( n − 1 ) ! k ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! = ( n − k ) ( n − 1 ) ! + k ( n − 1 ) ! k ! ( n − k ) ! = ( n − 1 ) ! × [ ( n − k ) + k ] k ! ( n − k ) ! = ( n − 1 ) ! × n k ! ( n − k ) ! = n ! k ! ( n − k ) ! = ( n k ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{}{\frac {(n-1)!}{k!(n-k-1)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\\&={\frac {(n-k)(n-1)!}{(n-k-1)!k!(n-k)}}+{\frac {k(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!}}\\&={\frac {(n-k)(n-1)!+k(n-1)!}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {(n-1)!\times [(n-k)+k]}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {(n-1)!\times n}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\\&={n \choose k}\end{aligned}}} 推广 设 n , k 1 , k 2 , k 3 , … , k p , p ∈ N ∗ {\displaystyle n,k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p},p\in \mathbb {N} ^{*}\,\!} 及 n = k 1 + k 2 + k 3 + ⋯ + k p {\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\,\!} 。那么: ( n − 1 k 1 − 1 , k 2 , k 3 , … , k p ) + ( n − 1 k 1 , k 2 − 1 , k 3 , … , k p ) + ⋯ + ( n − 1 k 1 , k 2 , k 3 , … , k p − 1 ) = ( n − 1 ) ! ( k 1 − 1 ) ! k 2 ! k 3 ! ⋯ k p ! + ( n − 1 ) ! k 1 ! ( k 2 − 1 ) ! k 3 ! ⋯ k p ! + ⋯ + ( n − 1 ) ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! ⋯ ( k p − 1 ) ! = k 1 ( n − 1 ) ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! ⋯ k p ! + k 2 ( n − 1 ) ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! ⋯ k p ! + ⋯ + k p ( n − 1 ) ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! ⋯ k p ! = ( k 1 + k 2 + ⋯ + k p ) ( n − 1 ) ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! ⋯ k p ! = n ( n − 1 ) ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! ⋯ k p ! = n ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! ⋯ k p ! = ( n k 1 , k 2 , k 3 , … , k p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}\end{aligned}}} 参见 杨辉三角形