对数恒等式

简化计算

对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

消去指数

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。

换底公式

${\displaystyle \log _{\theta }x={\frac {\log _{\phi }x}{\log _{\phi }\theta }}}$ 

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有ln和log₁₀的按钮，但却没有${\displaystyle \log _{2}}$ 的。要计算${\displaystyle \log _{2}(3)}$ ，只有计算${\displaystyle {\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}}$ ^{[注 1]}。

这个公式有许多推论：

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$ 

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}}$ 

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$ 

${\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,}$ 

${\displaystyle {\pi (n)}}$ 是下标${\displaystyle 1,\ldots ,n}$ 的任意的排列。例如

${\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,}$ 

和/差公式

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：

${\displaystyle \log _{\theta }(\mathrm {X} \pm \Upsilon )=\log _{\theta }\mathrm {X} +\log _{\theta }\left(1\pm {\frac {\Upsilon }{\mathrm {X} }}\right)}$ ^{[注 2]}

普通恒等式

注意${\displaystyle \log _{b}(0)\!\,}$ 无定义，因为没有一个数${\displaystyle x\!\,}$ 使${\displaystyle b^{x}=0\!\,}$ 成立。

极限

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$ 

最后一个极限经常被总结为“${\displaystyle x}$ 的对数增长得比${\displaystyle x}$ 的任何次方或方根都慢”。^{[注 3]}

对数函数的导数

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}}$ 

积分定义

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$ 

对数函数的积分

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$ 

为了记忆积分，可以方便的定义：

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$ 

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$ 

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$ 

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$ 

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}$ 

于是，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}$ 

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$ 

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数${\displaystyle 2^{32582657}-1}$ 的近似值。先取对数（${\displaystyle -1}$ 被忽略），${\displaystyle 2^{32582657}}$ 以10为底的对数等于 32,582,657 与${\displaystyle \log _{10}(2)}$ 的乘积，计算得到${\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543}$ 。再取指数消去对数，得到最后结果为 ${\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}}$ .

类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。