克拉克森不等式数学的克拉克森不等式是Lp空间上的一个结果，用两个可测函数的Lp范数，来表示它们的和及差的Lp范数的上界。这不等式是平行四边形恒等式的一个推广。 不等式叙述 设 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 是测度空间， f , g : X → R {\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} } 是在 L p ( X ) {\displaystyle L^{p}(X)} 空间内的可测函数。当 2 ≤ p < + ∞ {\displaystyle 2\leq p<+\infty } 时，有 ‖ f + g 2 ‖ L p p + ‖ f − g 2 ‖ L p p ≤ 1 2 ( ‖ f ‖ L p p + ‖ g ‖ L p p ) {\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)} ；当 1 < p < 2 {\displaystyle 1<p<2} 时，有 ‖ f + g 2 ‖ L p q + ‖ f − g 2 ‖ L p q ≤ ( 1 2 ‖ f ‖ L p p + 1 2 ‖ g ‖ L p p ) q p {\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}}} ，其中 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ，即 q = p p − 1 {\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}} 。 p > 2 {\displaystyle p>2} 的情形较易证明，可以简单地用三角不等式和函数 x ↦ x p {\displaystyle x\mapsto x^{p}} 的凸性证出。 外部链接 Clarkson inequality at PlanetMath.