由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法
如图BCD为全弧,AB=AC=AD=为半径,令半径=1;BD为通弦,BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此,
[5]
作EJ=EF,FK=FJ;延长BE直线至L,并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M,并BF=MF;连LM,显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G,L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI;显然BI=BC。
作CG之平分线BM,并令BM=BC;连GM、CM;作CO=CM交BM于O;作MP=MO;作NQ=NR,R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB; ∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形:ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:[6]
- 连比第一率:AB=AC=AD=AE
- 连比第二率:BE=BC=BF=C
- 连比第三率:EF=CM
- 连比第四率:FJ
- 连比第五率:JK=OP
1:BE=BE:EF;即
于是 ,
即
因为 风筝形ABEC 与BLIN相似,[6]。
- 即
- 令
-
-
-
-
由此得 或
- 又 ,代人p值得:
,于是
-
- 上式平方之,两边除以16:[7]
-
- 即
依次类推
- [8]。
将下列二式相加,可以消去 项:
-
-
-
- 同理
- ,
.......
-
展开式各项分子的系数 1,1,2,5,14,42,132……(见图二 明安图原图最后一行,由右至左读)乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人[9]。
因而得到:
[10][11]。
其中
为明安图-卡塔兰数。
- 明安图利用他首创的递推关系[12]:
-
-
代人
- 最后得到[13]。
-
三角学意义
在图一中令BAE角=α,BAC角=2α
- x=BC=sinα
- q=BL=2BE=4sin(α/2)
- BD=2sin(2α)
明安图获得的
- 就是
-
-
- 即
由三分弧通弦率求全弧通弦率
如图,BE为全弧通弦,BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC;作BG、EH=BC,Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ;又三角形Cαβ与三角形BδD相似。
因此:
,
依次类推,最后得:
[14][15]。
四分弦
+……
- 。[16]。
- 几何意义:
[17]。
五分弦
- 几何意义:
- [18]。
十分弦
从十分弦开始,明安图不再作几何模型,而是对无穷级数进行代数运算
显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合,即
- ;
展开即得:
+……[19]。
百分弧
同理,
,展开后即得:
- ……[20]。
千分弧
……[20]。
万分弦
…………[21]。
弧背求通弦
y100,y1000 and y10000 可表为[22]:
..........
..............
..................
分弦数越大,分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近
24 、 24*80 ;当分弦数n趋向无穷大, n*a, 就变成 弧背,于是[23]
令c 为弦,a 为弧背,
.....
通弦求弧背
明安图求得上述无穷级数的反逆,将弧表示为弦的无穷级数[23][24]:
............