最大似然估计

下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。读者还须先熟悉连续实函数的基本技巧，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。
同时，读者须先拥有似然函数的背景知识，以了解最大似然估计的出发点及应用目的。

给定一个概率分布${\displaystyle D}$ ，已知其概率密度函数（连续分布）或概率质量函数（离散分布）为${\displaystyle f_{D}}$ ，以及一个分布参数${\displaystyle \theta }$ ，我们可以从这个分布中抽出一个具有${\displaystyle n}$ 个值的采样${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ，利用${\displaystyle f_{D}}$ 计算出其似然函数：

${\displaystyle {\mbox{L}}(\theta \mid x_{1},\dots ,x_{n})=f_{\theta }(x_{1},\dots ,x_{n}).}$ 

若${\displaystyle D}$ 是离散分布，${\displaystyle f_{\theta }}$ 即是在参数为${\displaystyle \theta }$ 时观测到这一采样的概率；若其是连续分布，${\displaystyle f_{\theta }}$ 则为${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ 联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ，我们就能求得一个关于${\displaystyle \theta }$ 的估计。最大似然估计会寻找关于${\displaystyle \theta }$ 的最可能的值（即，在所有可能的${\displaystyle \theta }$ 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。从数学上来说，我们可以在${\displaystyle \theta }$ 的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ 值即称为${\displaystyle \theta }$ 的最大似然估计。由定义，最大似然估计是样本的函数。

注意

• 这里的似然函数是指${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ 不变时，关于${\displaystyle \theta }$ 的一个函数。
• 最大似然估计不一定存在，也不一定唯一。

离散分布，离散有限参数空间

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样${\displaystyle x_{1}={\mbox{H}},x_{2}={\mbox{T}},\ldots ,x_{80}={\mbox{T}}}$ 并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为${\displaystyle p}$ ，抛出一个反面的概率记为${\displaystyle 1-p}$ （因此，这里的${\displaystyle p}$ 即相当于上边的${\displaystyle \theta }$ ）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为${\displaystyle p=1/3}$ , ${\displaystyle p=1/2}$ , ${\displaystyle p=2/3}$ ，这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {L} (p=1/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/3)&=&{80 \choose 49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31}\approx 0.000\\&&\\\mathbb {L} (p=1/2\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/2)&=&{80 \choose 49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31}\approx 0.012\\&&\\\mathbb {L} (p=2/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=2/3)&=&{80 \choose 49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31}\approx 0.054\\\end{matrix}}}$ 

我们可以看到当${\displaystyle {\widehat {p}}=2/3}$ 时，似然函数取得最大值。
显然地，这硬币的公平性和那种抛出后正面的概率是2/3的硬币是最接近的。这就是${\displaystyle p}$ 的最大似然估计。

离散分布，连续参数空间

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ 中的任何一个${\displaystyle p}$ ， 都有一个抛出正面概率为${\displaystyle p}$ 的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{L}}(\theta )&=&f_{D}({\mbox{H=49,T=80-49}}\mid p)={80 \choose 49}p^{49}(1-p)^{31}\\\end{matrix}}}$ 

其中${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ . 我们可以使用微分法来求极值。方程两边同时对${\displaystyle p}$ 取微分，并使其为零。

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{80 \choose 49}{\frac {d}{dp}}\left(p^{49}(1-p)^{31}\right)\\&&\\&\propto &49p^{48}(1-p)^{31}-31p^{49}(1-p)^{30}\\&&\\&=&p^{48}(1-p)^{30}\left[49(1-p)-31p\right]\\\end{matrix}}}$ 

其解为${\displaystyle p=0}$ , ${\displaystyle p=1}$ ，以及${\displaystyle p=49/80}$ .使可能性最大的解显然是${\displaystyle p=49/80}$ （因为${\displaystyle p=0}$ 和${\displaystyle p=1}$ 这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为${\displaystyle {\widehat {p}}=49/80}$ .

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母${\displaystyle t}$ 代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母${\displaystyle n}$ 代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {t}{n}}}$ 

对于任何成功次数为${\displaystyle t}$ ，试验总数为${\displaystyle n}$ 的伯努利试验。

连续分布，连续参数空间

最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ 

现在有${\displaystyle n}$ 个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其${\displaystyle n}$ 个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ 

或：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$ ,

这个分布有两个参数：${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2}}$ .有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性${\displaystyle {\mbox{L}}(\mu ,\sigma )=f(x_{1},,\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})}$ 在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$ .

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凹函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {\partial }{\partial \mu }}\log \left(\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&=&{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\log \left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=&0-{\frac {-2n({\bar {x}}-\mu )}{2\sigma ^{2}}}\\\end{matrix}}}$ 

这个方程的解是${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n}$ .这的确是这个函数的最大值，因为它是${\displaystyle \mu }$ 里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对${\displaystyle \sigma }$ 求导，并使其为零。

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\log \left(\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&=&{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {n}{2}}\log \left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=&-{\frac {n}{\sigma }}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{\sigma ^{3}}}\\\end{matrix}}}$ 

这个方程的解是${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\widehat {\mu }})^{2}/n}$ .

因此，其关于${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$ 的最大似然估计为：

${\displaystyle {\widehat {\theta }}=({\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})=({\bar {x}},\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}/n)}$ .

泛函不变性（Functional invariance）

如果${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ 是${\displaystyle \theta }$ 的一个最大似然估计，那么${\displaystyle \alpha =g(\theta )}$ 的最大似然估计是${\displaystyle {\hat {\alpha }}=g({\hat {\theta }})}$ 。函数g无需是一个双射。^[1]

渐近线行为

最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差，其证明可见于克拉马－罗下限（英语：Cramér–Rao bound）。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。 对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。

偏差

最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有${\displaystyle 1}$ 到${\displaystyle n}$ 的${\displaystyle n}$ 张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果${\displaystyle n}$ 是未知的话，那么${\displaystyle n}$ 的最大似然估计值就是抽出的票上标有的${\displaystyle n}$ ，尽管其期望值的只有${\displaystyle (n+1)/2}$ .为了估计出最高的${\displaystyle n}$ 值，我们能确定的只能是${\displaystyle n}$ 值不小于抽出来的票上的值。

最大似然估计最早是由罗纳德·费希尔在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。^[2]（虽然以前高斯、拉普拉斯、托瓦尔·尼古拉·蒂勒和F. Y. 埃奇沃思也使用过）。^[3] 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。^[4]

大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展，并被后来的作者简化。^[2]

• 均方差是衡量一个估计函数的好坏的一个量。

• 关于Rao-Blackwell定理（Rao-Blackwell theorem）的文章中讨论到如何利用Rao-Blackwellisation过程寻找最佳无偏估计（即使均方差最小）的方法。而最大似然估计通常是一个好的起点。

• 读者可能会对最大似然估计（如果存在）总是一个关于参数的充分统计（sufficient statistic）的函数感兴趣。

• 最大似然估计跟一般化矩方法（generalized method of moments）有关。

• 关于最大似然估计的历史的一篇论文，作者John Aldrich