在公理集合论中,罗修娃-西葛斯基引理(Rasiowa–Sikorski lemma)是力迫使用的技巧中最基本的事实之一,这引理以海伦娜·罗修娃和罗曼·西葛斯基为名。
引理内容
在力迫的领域中,若说偏序集 的子集 在 中稠密,就表示对于任意的 而言,有 使得 ;而若 是 的稠密子集的集族,那么在满足以下条件的状况下,就称 中的滤子 是 -一般的:
-
再有这些预备知识,就可以来描述罗修娃-西葛斯基引理:
- 设 是一个偏序集且 ,若 是 的稠密子集的可数集族,那就存在一个 中的 -一般的滤子 ,使得
证明
此引理证明如下:
由于 可数之故,因此可以将 的子集给编号为 等等,由假设可知,存在一个 ,然后由稠密性可知,存在一个 且 ,如是反复,可得 ,其中 ,因此 是 -一般的滤子。
可以认为罗修娃-西葛斯基引理是马丁公理较弱的版本,或说罗修娃-西葛斯基引理等价于 。
例子
- 对于 ,也就是从 到 的、由包含关系定义的反向偏函数的偏序而言,若定义 ,那在这种状况下,若 可数,则罗修娃-西葛斯基引理可得一个 -一般的滤子 及一个函数
- 假若我们使用处理 -一般的滤子的符号,那么 可得一个 -一般滤子
- 若 不可数,但其基数严格小于 且其偏序集满足可数链条件,那我们可使用马丁公理。
参见
参考资料
- Ciesielski, Krzysztof. Set theory for the working mathematician. London Mathematical Society Student Texts 39. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067.
- Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 102. North-Holland. 1980. ISBN 0-444-85401-0. Zbl 0443.03021.
外部链接