罗修娃-西葛斯基引理

在公理集合论中,罗修娃-西葛斯基引理(Rasiowa–Sikorski lemma)是力迫使用的技巧中最基本的事实之一,这引理以海伦娜·罗修娃英语Helena Rasiowa罗曼·西葛斯基英语Roman Sikorski为名。

引理内容

在力迫的领域中,若说偏序集 的子集  中稠密,就表示对于任意的 而言,有 使得 ;而若  的稠密子集的集族,那么在满足以下条件的状况下,就称 中的滤子  一般英语generic filter的:

 

再有这些预备知识,就可以来描述罗修娃-西葛斯基引理:

 是一个偏序集且 ,若  的稠密子集的可数集族,那就存在一个 中的 一般英语generic filter的滤子 ,使得 

证明

此引理证明如下:

由于 可数之故,因此可以将 的子集给编号为 等等,由假设可知,存在一个 ,然后由稠密性可知,存在一个  ,如是反复,可得 ,其中 ,因此  一般英语generic filter的滤子。

可以认为罗修娃-西葛斯基引理是马丁公理较弱的版本,或说罗修娃-西葛斯基引理等价于 

例子

  • 对于 ,也就是从  的、由包含关系定义的反向偏函数的偏序而言,若定义 ,那在这种状况下,若 可数,则罗修娃-西葛斯基引理可得一个 -一般的滤子 及一个函数 
  • 假若我们使用处理 -一般的滤子的符号,那么 可得一个 一般滤子英语generic filter
  •  不可数,但其基数严格小于 且其偏序集满足可数链条件,那我们可使用马丁公理

参见

参考资料

  • Ciesielski, Krzysztof. Set theory for the working mathematician. London Mathematical Society Student Texts 39. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067. 
  • Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 102. North-Holland. 1980. ISBN 0-444-85401-0. Zbl 0443.03021. 

外部链接

  • Tim Chow's新闻群的文章Forcing for dummies页面存档备份,存于互联网档案馆)对力迫的概念与想法做出了很好的介绍,这文章介绍了主要的想法且跳过了技术性的细节。