可数链条件

序理论中,若一个偏序的所有强反链英语strong antichain都是可数的,则说满足可数链条件(Countable chain condition),而可数链条件又记做ccc

综观

实际上可数链条件有两种,一种是上升可数链条件(upwards countable chain condition),一种是下降可数链条件(downwards countable chain condition),这两个条件并不等价,而一般而言可数链条件指的是下降可数链条件,换句话说也就是“没有两个元素有相同的最小下界”这条件。

这条件被称为“可数链条件”而非更合乎逻辑的“可数反链条件”,是因为和拓朴空间与完备布尔代数的链相关历史理由之故,而在拓朴空间与完备布尔代数中,这些链条件有时刚好和反链条件条件相同,比方说若 是一个基数,那么在完备布尔代数中,任何的反链大小小于 的充要条件是若不存在元素的下降 序列,而在这种状况下链条件与反链条件等价。

满足可数链条件的偏序和空间被用于马丁公理的陈述中。

力迫理论中会用到满足可数链条件的偏序,而这是因为对任何集合使用如此的序对,可以保持其基数及共尾性之故;此外,可数链条件在有限支撑迭代(详情可见迭代力迫英语iterated forcing)中可得到保持。关于更多关于力迫中的可数链条件,可见力迫一文相关章节的说明。

更一般地,若 是一个基数,那么在一个偏序集每个反链的大小都小于 的状况下,会说这个偏序集满足 -链条件;而在这种状况下,可数链条件即是 -链条件,也就是可数链条件即是  -链条件。

拓朴学中的例子与性质

若说一个拓朴空间 满足可数链条件,或者所谓的苏斯林英语Mikhail Yakovlevich Suslin条件,就表示说 的非空开子集的偏序集满足可数链条件,也就是 的非空开子集的所有的两两不交的搜集都是可数的,而这名称的由来是苏斯林问题

  • 所有的可分拓朴空间都满足可数链条件,不仅如此,多至 个可分空间的积空间都是可分的且满足可数链条件。
  • 一个度量空间满足可数链条件,当且仅当这空间是可分的
  • 一般而言,满足可数链条件的拓朴空间未必是可分的,像例如说在积拓朴下, 这空间满足可数链条件,但“不是”可分的。
  • 满足可数链条件的仿紧空间都是林德勒夫空间

参考资料

  • Jech, Thomas, Set Theory: Millennium Edition, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-3-540-44085-7 
  • Products of Separable Spaces, K. A. Ross, and A. H. Stone. The American Mathematical Monthly 71(4):pp. 398–403 (1964)