迪恩数

黏性流体沿直管道流动时，管中央的流速较快，近管壁的流速较慢，为泊肃叶流。转弯时，受离心力影响，中央较快的流体被推到外侧（附图的右侧），管壁附近的流体相应被挤压返回内侧（附图的左侧），产生两个反向的涡旋。此种次要的效应与原先向前的流动互相叠加，所以流体粒子实际的轨迹是螺旋线。^{[1]:469–470}此种涡流称为迪恩涡（Dean vortices）。

迪恩数的定义如下：

${\displaystyle {\mathit {De}}={\frac {\rho V\!d}{\mu }}\left({\frac {d/2}{R}}\right)^{1/2}}$ 

• ${\displaystyle \rho }$  为流体密度
• ${\displaystyle \mu }$  为流体的粘度
• ${\displaystyle V}$  是轴向的速度值
• ${\displaystyle d}$  为弯管直径（若截面不是圆形，可以用等效直径，请参考雷诺数）
• ${\displaystyle R}$  是弯管的曲率半径

迪恩数和雷诺数（基于在直径d的管内流速为V的流体）及曲率平方根的乘积成正比^[2]。

迪恩数出现在迪恩方程中，这是针对牛顿流体在环面管中的轴向均匀流，曲率效应较小 (${\displaystyle a/r\ll 1}$ ) 时针对纳维-斯托克斯方程的近似。

此处使用正交座标系 ${\displaystyle (x,y,z)}$  ，其单位向量和弯管的中线对齐，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {z}}}}$ 延著中线方向，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}}$ 和中线平面垂直，而${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}}$ 为副法线．若轴向流是因为压力梯度${\displaystyle G}$ 而产生，其轴向速度${\displaystyle u_{z}}$  除以 ${\displaystyle U=Ga^{2}/\mu }$ ，跨流线的速度${\displaystyle u_{x},u_{y}}$  除以 ${\displaystyle (a/R)^{1/2}U}$ ，跨流线的压力除以${\displaystyle \rho aU^{2}/L}$ ，而长度除以曲率半径。

利用上述的无因次变数及座标，迪恩方程式可以用下式表示^[3]

${\displaystyle D\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}+u_{z}^{2}\right)=-D{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}}$ 

${\displaystyle D{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-D{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}}$ 

${\displaystyle D{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0}$ 

其中

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ 为实质导数。

迪恩数D是上述系统中唯一的参数，也包括了曲率效应的第一阶效应在内，若要考虑更高阶的效应，需要引入其他的参数。

若曲率的影响不大时（D比较小），迪恩方程可以用迪恩数的级数展开来表示. 此处在 ${\displaystyle D_{c}\approx 956}$ （Dennis & Ng 1982）时都还是稳定的^[4]。若D值较大，有许多不同的解，其中有许多是不稳定的。

• Dean, W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe. Phil. Mag. 1927, 20: 208–223. 
• Dean, W. R. The streamline motion of fluid in a curved pipe. Phil. Mag. (7). 1928, 5: 673–695.