马尔可夫不等式

概率论中,马尔可夫不等式(英语:Markov's inequality)给出了随机变量的函数大于等于某正数的概率的上界。虽然它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名,但该不等式曾出现在一些更早的文献中,其中包括马尔可夫的老师--巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫

马尔可夫不等式提供了超过某特定数值(图中标示红色线处)概率的上界,其上界包括了特定数值的平均值

马尔可夫不等式把概率关联到数学期望,给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界。

马尔可夫不等式的一个应用是,不超过1/5的人口会有超过5倍于人均收入的收入。

表达式

X为一非负随机变量,则

 [1]

若用测度领域的术语来表示,马尔可夫不等式可表示为若(X, Σ, μ)是一个测度空间,ƒ可测扩展实数的函数,且 ,则

 

有时上述的不等式会被称为切比雪夫不等式[2]

对于单调增加函数的扩展版本

φ是定义在非负实数上的单调增加函数,且其值非负,X是一个随机变量,a ≥ 0,且φ(a) > 0,则

 

证明

 

用来推导切比雪夫不等式

切比雪夫不等式使用方差来作为一随机变量超过平均值概率的上限,可以用下式表示:

 

对任意a>0,Var(X)为X的方差,定义如下:

 

若以马尔可夫不等式为基础,切比雪夫不等式可视为考虑以下随机变量

 

根据马尔可夫不等式,可得到以下的结果

 

矩阵形式的马尔可夫不等式

 为自共轭矩阵形式的随机变量,且 ,则

 

应用实例

  • 马尔可夫不等式可用来证明切比雪夫不等式
  • 马尔可夫不等式可用来证明一个非负的随机变量,其平均值 和中位数 满足 的关系。

参见

参考资料

  1. ^ Sheldon M Ross. Introduction to probability and statistics for engineers and scientists. Academic Press. 2009: 第127页. ISBN 9780123704832. 
  2. ^ E.M. Stein, R. Shakarchi, "Real Analysis, Measure Theory, Integration, & Hilbert Spaces", vol. 3, 1st ed., 2005, p.91