亚历山大对偶

在数学中，亚历山大对偶是指由 J.W. Alexander于1915年的研究中所发现一种对偶理论。它在随后由Pavel Alexandrov和Lev Pontryagin等人做了进一步发展。

对于欧氏空间、球面或其他的某些流形的一个子空间 $X$ ，亚历山大对偶可以用于求 $X^{c}$ 的同调群。亚历山大对偶是Spanier-Whitehead对偶的一种推广。

定理（亚历山大对偶）^[1]

考虑 n 维球面 $S^{n}$ 的一个紧子空间 $X$ ，若其局部可缩，则有：

{\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)

其中 ${\tilde {H}}_{i}(X)$ 代表空间 $X$ 的 $i$ 维约化同调群，同样， ${\tilde {H}}^{i}(X)$ 代表空间 $X$ 的 $i$ 维约化上同调群。

参考文献

^ Munkres, James R. Elements of Algebraic Topology. CRC Press. 1993. ISBN 978-0201627282.