泊松李群

泊松-李群是一个具有泊松括号的李群 ${\displaystyle G}$ ，其群乘法定义为 ${\displaystyle \mu :G\times G\to G}$ ，其中 ${\displaystyle \mu (g_{1},g_{2})=g_{1}g_{2}}$  为泊松映射，其中流形 ${\displaystyle G\times G}$  赋予了乘积泊松流形的结构。

对于泊松李群，以下等式恒成立：

${\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(gg')=\{f_{1}\circ L_{g},f_{2}\circ L_{g}\}(g')+\{f_{1}\circ R_{g'},f_{2}\circ R_{g'}\}(g)}$ 

其中约定 ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$  是定义在泊松李群上的实数值的光滑函数，${\displaystyle g,g'}$ 为群中任意的元素，${\displaystyle L}$  为元素的左乘，${\displaystyle R}$  为元素的右乘。

记 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  为泊松李群 ${\displaystyle G}$  对应的泊松双向量（Poisson bivector），上述恒等式有等价形式：

${\displaystyle {\mathcal {P}}(gg')=L_{g*}({\mathcal {P}}(g'))+R_{g'*}({\mathcal {P}}(g))}$ 

特别的，如果取 ${\displaystyle g=g'=e}$  , 以上等式即为 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(e)=\{f,g\}(e)=0}$  。对单位元 ${\displaystyle e}$  使用韦恩斯坦分裂定理 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Weinstein splitting theorem），可得知非平凡的泊松李群一定不具有辛结构，甚至不具有恒定的秩。

• Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley: A Guide to Quantum Groups, ISBN 0-521-55884-0