自旋-1/2

在量子物理中，自旋${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$表示一粒子所具有的内禀角动量（自旋）为${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}$，${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数，其中包括了电子、质子、中子、中微子与亏子(夸克)。自旋-${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$粒子在量子统计上属于费米子，并遵守泡利不相容原理。

对自旋${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$粒子进行自旋性质的量子测量会得到两个值。有两个结果肇因于所存有的向量空间的维度。自旋${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$粒子的自旋量子态可以用一种两个维度的复数值向量来描述，称之为二元旋量。利用这种表示法，量子力学中的算符可写成2乘2(2 x 2)的复数厄米矩阵。

自旋投影算符${\displaystyle S_{z}}$意义上代表了沿着${\displaystyle z}$方向对自旋做的测量：

${\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle S_{z}}$算符有两个本征值——${\displaystyle \pm {\frac {\hbar }{2}}}$，有各自对应的本征向量：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\left\vert {s_{z}=+{\frac {1}{2}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\left\vert {s_{z}=-{\frac {1}{2}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle }$

其构成描述自旋之希尔伯特空间的完整基底，即自旋的态可用这两个态的线性组合来代表。这两个态方便上称之为“自旋向上”（spin up）与“自旋向下”（spin down）。

自旋算符S有些特质和角动量算符L相同，但其他特质则不相同。

可为自旋${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$物体建构升降算符；其遵守和其他角动量算符相同的对易关系(交换关系)。

自旋投影算符的旋转的两个本征值与前面相同(相应于测量的可能结果)，但本征向量则不同——为向量自旋算符${\displaystyle \mathbf {S} \cdot {\hat {n}}}$；其中${\displaystyle n}$是一个顺沿投影方向的单位向量，而

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\hbar }{2}}\mathbf {\sigma } ={\frac {\hbar }{2}}\left(\sigma _{x}{\hat {x}}+\sigma _{y}{\hat {y}}+\sigma _{z}{\hat {z}}\right)}$。

这些${\displaystyle \sigma }$为泡利矩阵或称泡利旋量。