利萨茹曲线

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}}$ 

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}$ ，${\displaystyle n\geq 1\,}$ 。

${\displaystyle n}$ 称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则${\displaystyle n={\frac {q}{p}}\,}$ ，参数方程可以写作：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(p\theta )\\y(\theta )=b\sin(q\theta +\phi )\\0\leq \theta \leq 2\pi \end{cases}}}$ ，

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2p}}}$ 。

• 若${\displaystyle n}$ 为无理数，曲线在长方形${\displaystyle [-a,a]\times [-b,b]}$ 中稠密。
• 若${\displaystyle n}$ 为有理数，
  • 曲线是${\displaystyle 2q}$ 次代数曲线若${\displaystyle \phi \in \left(0,{\frac {\pi }{2p}}\right]}$ 对奇数${\displaystyle p}$ ，或${\displaystyle \phi \in \left[0,{\frac {\pi }{2p}}\right)}$ 对偶数${\displaystyle p}$ 。
  • 曲线是${\displaystyle q}$ 次代数曲线的一部分若${\displaystyle \phi =0\,}$ 对奇数${\displaystyle p}$ ，或${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2p}}}$ 对偶数${\displaystyle p}$ 。

• 若${\displaystyle n}$ 为偶数而${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ，或若${\displaystyle n}$ 为奇数而${\displaystyle \phi =0\,}$ ，则曲线是第${\displaystyle n}$ 个切比雪夫多项式${\displaystyle T_{n}}$ 的曲线的一部分。

• 若${\displaystyle a=b}$ ，${\displaystyle n=1}$ ，则曲线是椭圆。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ，则这椭圆其实是圆。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$ ，则这椭圆其实是线段。
• 若${\displaystyle a=b}$ ，${\displaystyle n=q=2}$ （所以${\displaystyle p=1}$ ），则曲线是besace。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ，则这besace是抛物线一部分。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$ ，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中${\displaystyle \phi =0}$ ，${\displaystyle a=b}$ , ${\displaystyle p}$ 是奇数，${\displaystyle q}$ 是偶数，${\displaystyle |p-q|=1}$ 。

频率比1:n和n:1的情况

频率比n₁:n₂的情况

演示

鼠标悬浮在两个数字上时，通过滚轮可以调节数字大小。

借由使用利萨茹图形可以测量出两个信号的频率比与相位差。

• 利萨茹曲线的Java 3D示范 （页面存档备份，存于互联网档案馆）