此条目没有列出任何参考或来源。 (2017年12月26日) 维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。 |
数学上,利萨茹(Lissajous)曲线(又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇(Bowditch)曲线)是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。
纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线,朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。
数学定义
利萨茹曲线由以下参数方程定义:
-
其中 , 。
称为曲线的参数,是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数,则 ,参数方程可以写作:
- ,
其中 。
性质
- 若 为无理数,曲线在长方形 中稠密。
- 若 为有理数,
- 曲线是 次代数曲线若 对奇数 ,或 对偶数 。
- 曲线是 次代数曲线的一部分若 对奇数 ,或 对偶数 。
- 若 为偶数而 ,或若 为奇数而 ,则曲线是第 个切比雪夫多项式 的曲线的一部分。
特别情况
- 若 , ,则曲线是椭圆。
- 若 ,则这椭圆其实是圆。
- 若 ,则这椭圆其实是线段。
- 若 , (所以 ),则曲线是besace。
- 若 ,则这besace是抛物线一部分。
- 若 ,则这besace是一个热罗诺双纽线。
以下是利萨茹曲线的例子,其中 , , 是奇数, 是偶数, 。
频率比1:n和n:1的情况
Δφ
|
1:1
|
1:2
|
1:3
|
|
2:1
|
---|
0
|
|
|
|
|
|
¹/₄·π
|
|
|
|
|
|
¹/₂·π
|
|
|
|
|
|
³/₄·π
|
|
|
|
|
|
1·π
|
|
|
|
|
|
1¹/₄·π
|
|
|
|
|
|
1¹/₂·π
|
|
|
|
|
|
1³/₄·π
|
|
|
|
|
|
2·π
|
|
|
|
|
|
频率比n1:n2的情况
Δφ
|
2:3
|
|
Δφ
|
3:4
|
---|
0
|
|
|
0
|
|
¹/₂·¹/₄·π
|
|
|
¹/₃·¹/₄·π
|
|
¹/₂·¹/₂·π
|
|
|
¹/₃·¹/₂·π
|
|
¹/₂·³/₄·π
|
|
|
¹/₃·³/₄·π
|
|
¹/₂·π
|
|
|
¹/₃·π
|
|
5/8·π
|
|
|
5/12·π
|
|
³/₄·π
|
|
|
¹/₂·π
|
|
7/8·π
|
|
|
7/12·π
|
|
1·π
|
|
|
²/₃·π
|
|
演示
鼠标悬浮在两个数字上时,通过滚轮可以调节数字大小。
在电子学上的应用
借由使用利萨茹图形可以测量出两个信号的频率比与相位差。
外部链接