牛奶冻曲线此条目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2019年7月20日)请邀请适合的人士改善本条目。更多的细节与详情请参见讨论页。此条目没有列出任何参考或来源。 (2019年7月20日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。牛奶冻曲线(blancmange curve)又称为高木曲线,因为在1901年由高木贞治所研究。另外也称为 Takagi-Landsberg 曲线,一种更一般化的曲线,以高木贞治和 Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶冻曲线也是 de Rham 曲线的特例。 牛奶冻函数的图形 目录 1 定义 2 性质 2.1 收敛与连续性 2.2 次可加性 2.3 抛物线 2.4 可微性 定义 定义域为单位区间的牛奶冻函数定义为 b ( x ) = ∑ n = 0 ∞ s ( 2 n x ) 2 n , {\displaystyle b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},} 其中 s {\textstyle s} 是三角波函数,定义为 s ( x ) = min n ∈ N | x − n | {\displaystyle s(x)=\min _{n\in \mathbb {N} }\left|x-n\right|} 。 而 Takagi–Landsberg 曲线的定义是更一般化的: T w ( x ) = ∑ n = 0 ∞ w n s ( 2 n x ) , {\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),} 其中 w {\displaystyle w} 是一个变数使 | w | < 1 {\displaystyle |w|<1} 。 parameter w=2/3 parameter w=1/2 parameter w=1/3 parameter w=1/4 parameter w=1/8 性质 收敛与连续性 以 w {\displaystyle w} ( | w | < 1 {\displaystyle |w|<1} )为参数无限和 T w ( x ) {\displaystyle T_{w}(x)} 对所有 x {\displaystyle x} 绝对收敛:因为对所有 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 有 0 ≤ s ( x ) ≤ 1 / 2 {\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2} ,从而 ∑ n = 0 ∞ | w n s ( 2 n x ) | ≤ 1 2 ∑ n = 0 ∞ | w | n = 1 2 ⋅ 1 1 − | w | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}} 。以 w {\displaystyle w} 为参数的 T w ( x ) {\displaystyle T_{w}(x)} 也是连续的。因为可以如下证明 T w , n ( x ) = ∑ k = 0 n w k s ( 2 k x ) {\textstyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)} 均匀收敛到 T w {\displaystyle T_{w}} : | T w ( x ) − T w , n ( x ) | = | ∑ k = n + 1 ∞ w k s ( 2 k x ) | = | w n + 1 ∑ k = 0 ∞ w k s ( 2 k + n + 1 x ) | ≤ | w | n + 1 2 ⋅ 1 1 − | w | {\displaystyle \left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}} 对所有 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 。其值在 n {\displaystyle n} 够大时可以任意的小。再根据均匀极限定理(英语:Uniform limit theorem), T w {\displaystyle T_{w}} 连续。 次可加性 T w {\displaystyle T_{w}} 具有次可加性。 抛物线 当 w = 1 4 {\textstyle w={\frac {1}{4}}} , T w {\displaystyle T_{w}} 的图形是抛物线,且用中点细分的构造方法曾被阿基米德描述。 可微性 对所有 0 < w < 1 / 2 {\displaystyle 0<w<1/2} , T w {\displaystyle T_{w}} 在任意不是二进分数的 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 是可微的,且其结果是 T w ′ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( 2 w ) n ( − 1 ) x − n − 1 , {\displaystyle T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},} 其中 ( x n ) n ∈ Z ∈ { 0 , 1 } Z {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }} 是 x {\displaystyle x} 的二进制表达式的序列,也就是满足 x = ∑ n ∈ Z 2 n x n {\textstyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}} 的序列。