开尔文环流定理

材料围线${\displaystyle C(t)}$ 的环流 ${\displaystyle \Gamma }$ 的定义为：

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$ 

其中u为速度向量，ds为沿着闭合围线的单元。

彻体力保守的非黏性流体的主宰方程为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$ 

其中D/Dt为实质导数，ρ为流体密度，p为密度，以及Φ为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。

正压性条件意味着密度是压力的函数，且为其唯一自变量，即${\displaystyle \rho =\rho (p)}$ 。

取环流的实质导数，得：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}}$ 

把主宰方程代入第一项并使用斯托克斯定理，得：

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$ 

最后的等式是源自${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$ ，它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数${\displaystyle f}$ 的梯度的旋度皆为零这一事实${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$ 。

已知材料线元的时间进化由下式给出（可由实质导数的定义求得）

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}}$ 

因此

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0}$ 

使用交换律后再使用${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\nabla \left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)}$ 。而最后的等式则使用了斯托克斯定理。

由于第一项及第二项皆为零，得

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$ 

• 亥姆霍兹定理 (流体力学)