欧拉方程 (流体动力学)

第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），发表于1757年，刊载于《柏林科学院论文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时，方程组只有动量方程及连续性方程，因此只能完整描述非压缩性流体；在描述可压缩性流体时，会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程，第三条方程后来被称为绝热条件。

在十九世纪的后半期，科学家们发现，与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守，而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守，因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后，能量密度、质量密度及应力这三个概念，被统一成应力-能量张量这一个概念；而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量^[2]。

以下是用微分形式写成的欧拉方程：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}$ 

其中

• ρ为流体的质量密度；
• u 为流体速度向量，分量为u、v及w；
• E = ρ e + ½ ρ ( u² + v² + w² )为每一单位容量所含的总能量，其中e为流体每一单位容量所含的内能；
• p为压力；
• ${\displaystyle \otimes }$ 代表张量积。

第二条方程包含了一并矢积的散度，用下标标记（每一个j代表从1至3）表示会较易明白：

${\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,}$ 

其中i及j下标各代表直角坐标系的三个分量：( x₁ , x₂ , x₃ ) = ( x , y , z )及( u₁ , u₂ , u₃ ) = ( u , v , w )。

注意以上方程是用守恒形式的，而守恒形式强调的是方程的物理起因（因此在计算流体力学中的电脑模拟上使用这种形式最方便）。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示：

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}$ 

但是在这个形式上，会比较看不出欧拉方程与牛顿第二运动定律的直接关联。

以下是用向量及守恒形式写成的欧拉方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,}$ 

其中

${\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};}$ 

${\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.}$ 

在这个形式下，不难看出f_x、f_y及f_z是通量。

以上方程分别代表质量守恒、动量的三个分量及能量。里面有五条方程，六个未知数。封闭系统需要一条状态方程；最常用的是理想气体定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ为密度，γ为绝热指数，e为内能）。

注意能量方程的奇特形式；见蓝金-雨果尼厄方程。附加含p的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中，这些附加项的总和为零。

取流线上欧拉方程的积分，假设密度不变，及状态方程具有足够的刚性，可得有名的伯努利定律。

在构建数值解，例如求雷曼问题的近似解的时候，展开通量可以是很重要的一环。使用上面以向量表示的守恒形式方程，展开其通量可得非守恒形式如下：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.}$ 

其中A_x、A_y及A_z为通量雅可比矩阵，各矩阵为：

${\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.}$ 

上式中这些通量雅可比矩阵A_x、A_y及A_z，还是状态向量m的函数，因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样，都是非线性方程。在状态向量m平滑变动的区间内，这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。

理想气体的通量雅可比矩阵

将理想气体定律用作状态方程，可推导出完整的雅可比矩阵形式，矩阵如下^[3]：

理想气体的通量雅可比矩阵

x方向的通量雅可比矩阵： ${\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}$  y方向的通量雅可比矩阵： ${\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}$  z方向的通量雅可比矩阵： ${\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}$  其中${\displaystyle {\hat {\gamma }}=\gamma -1}$ .

总焓H为：

${\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},}$ 

及声速a为：

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.}$ 

线性化形式

将含通量雅可比矩阵的非守恒形式，在状态m = m₀的周围线性化后，可得线性化欧拉方程如下：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,}$ 

其中A_x,0 、A_y,0及A_z,0分别为A_x、A_y及A_z于某参考状态m = m₀的值。

线性化一维的非耦合波方程

如果弃用守恒变量而改用特征变量的话，欧拉方程可被变换成非耦合波方程。举例说，考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维（1-D）欧拉方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.}$ 

矩阵A_x,0可被对角化，即可将其分解成：

${\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},}$ 

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}$ 

${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.}$ 

上式中，r₁、r₂及r₃为矩阵A_x,0的右特征向量（若${\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ }$ ，则x_R为右特征向量），而λ₁、λ₂及λ₃则为对应的特征值。

设特征变量为：

${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,}$ 

由于A_x,0不变，原来的一维通量雅可比矩阵方程，乘上P⁻¹后可得：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0}$ 

经过这样的处理后，方程实际上已经被非耦合化，而且可被视作三条波方程，其中特征值为波速。变量w_i为雷曼不变量，或在一般的双曲系统中为特征变量。

欧拉方程为非线性双曲方程，而它们的通解为波。与海浪一样，由欧拉方程所描述的波碎掉后，所谓的冲击波就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数（即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得更多信息，就必须回到更基础的积分形式。然后，在构建弱解时，需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件，在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”，上述物理量有密度、速度、压力及熵。物理量很少会出现不连续性；在现实的流动中，黏性会把这些不连续点平滑化。

许多领域都有研究冲击波的传播，尤其是出现流动处于足够高速的领域，例如空气动力学及火箭推进。

在某些问题中，特别是分析导管中的可压缩流，或是当流动呈圆柱或球状对称的时候，一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说，解欧拉方程会用到黎曼的特征线法。首先需要找出特征线，这条曲线位于两个独立变量（即x及t）所构成的平面上，在这条线上偏微分方程（PDE）会退化成常微分方程（ODE）。欧拉方程的数值解法非常倚赖特征线法。

• Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962. 
• Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055. 
• Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.