阻力方程

阻力方程是立基在一个假设的理想情形下：所有流体冲撞物体的参考面后停止，因此在整个参考面上产生滞止压强。实际的物体不可能完全符合此现象，而阻力系数C_D就是真实物体所受阻力相对于理想情形阻力的比例。一般而言较粗糙。非流线性的物体其C_D接近1。较平滑的物体C_D数值较低。阻力方程提供了阻力系数C_D的定义，此系数会随雷诺数而变化，实际的数值需要利用实验来求得。

若不考虑阻力系数的变化，阻力和流体速度的平方成正比，若速度变成原来的二倍，不但冲撞物体的流体速度加倍，单位时间内冲撞物体的流体质量也加倍，因此单位时间内的动量变化（及阻力）都变成原来的四倍。此现象和固体和固体之间的摩擦力不同，速度变化时，摩擦力不会有明显的改变。

阻力方程可以由量纲分析推导而得。假设一运动中的流体碰撞一物体，流体会对物体施力，根据一个复杂（且未完全了解）的定律，可以假设以下变数之间存在某种关系：

• 速度 u,
• 流体密度 ρ,
• 流体的动黏滞系数 ν
• 物体的大小，以其迎风面积A表示
• 阻力 F_D

利用白金汉π定理，可以将上述的5个变数简化为以下的二个变数：

• 阻力系数 C_D
• 雷诺数 R_e

若考虑原来的5个变数，可以得到以下的式子

${\displaystyle f_{a}(F_{D},\,u,\,A,\,\rho ,\,\nu )\,=\,0.\,}$ 

上式并未假设阻力和其他变数之间有一对一的函数对应关系。而上式中的f_a是某个未知的，有五个变数的函数。由于方程式的右侧是0，和使用的单位系统无关，因此应该可以将f_a用无量纲来表示。

将上述五个变数组合成无量纲的方式有许多种，不过根据白金汉π定理，最后会有二个无量纲。最合适的是雷诺数

${\displaystyle R_{e}\,=\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}}$ 

及阻力系数

${\displaystyle C_{D}\,=\,{\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}.}$ 

因此上述五个变数的函数可以用另一个只有二个变数的函数来表示：

${\displaystyle f_{b}\left({\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}},\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\,=\,0.}$ 

其中f_b为某个只有二个变数的函数。因此原始的方程式变成只有二个变数的方程式

由于其中唯一的未知数为阻力F_D，其型式可能如下

${\displaystyle {\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}\,=\,f_{c}\left({\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)}$ 

或

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}\,f_{c}(R_{e}),\,}$      及     ${\displaystyle C_{D}\,=\,f_{c}(R_{e}).}$ 

因此阻力可表示成 ½ ρ A u² 乘以某个自变数为雷诺数R_e的未知函数，此型式较原来五个变数的函数要简单许多。

透过量纲分析将原本复杂的问题（要找出有五个变数的函数）变成一个较简单的问题：决定阻力和雷诺数之间的函数关系。

量纲分析也提供一些额外的资讯，例如在其他条件不变时，阻力和流体密度成正比，此资讯在进行研究的初期尤其宝贵。若要研究阻力和雷诺数之间的关系，可以不用用大型的物体在高速流体下进行实验（例如用真实尺寸的飞机进行风洞实验），只要用较小的物体，在黏滞度更大，速度更快的流体中进行实验即可，因为这二个系统为相似（英语：Similitude (model)）的。

引用

来源

• 攻角
• 阻力
• 莫里森方程（英语：Morison equation）
• 失速
• 终端速度