白金汉π定理

白金汉π定理得名自美国物理学家埃德加·白金汉（英语：Edgar Buckingham），不过最早是由法国数学家约瑟·伯特兰证明^[1]，伯特兰在1878年时只考虑到一些由电动力学及热传导而来的一些问题，不过他的文章中包括所有现在证明此定理会用到的基本概念，而且清楚的指出此定理可以用在物理现象的建模。使用此定理的相关技术（量纲法）因为约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵的贡献而广为人知（他是第一位将π定理“应用在通用情形上”的人^[2]，他在研究流体通过管子的压降的统御参数时用到此方法，日期可能可以追溯到1892年^[3]，而在1894年有一个启发式的证明，再配合数列展开^[4]）。

可以针对任意多参数的π定理是由A. Vaschy在1892年提出^[5]，1911年分别由A. Federman^[6]及俄国物理学家Dimitri Riabouchinsky（英语：Dimitri Riabouchinsky）独立发现^[7]，1914年又由埃德加·白金汉发现^[8]。白金汉在他的文章中用符号π_i表示无量纲量，这也成为这定理的名称。

白金汉π定理中，无量纲量的个数p等于方程式中量纲矩阵的零化度（nullity），而k是量纲矩阵的秩。在实验上，若不同的系统其无量纲量的描述相同，则这二个系统是等效的。

在数学上，若有以下在物理上有意义的方程式

${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,}$ 

其中q_i为n个物理量，而这些物理量以k个独立变量表示，则上式可以重组为以下的方程式

${\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,}$ 

其中π_i为无量纲的参数，由q_i组合而成，而会有 p = n − k个无量纲的方程式（称为Pi群）如下

${\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},}$ 

其中的指数a_i为有理数，多半情形会是整数。

白金汉π定理提供方式可以针对一些物理现象的物理量计算无量纲量，就算还不知方程式的具体形式也没关系。不过无量纲量的选择不是唯一的，白金汉π定理只提供一个方式找出一组无量纲量，不表示这些无量纲量是“物理上最有意义”的。

二个系统若有相同的参数，则称为“相似”（就算相似三角形一样，相似三角形之间只是大小不同而已）。在方程式上是等效的，因此想要确认方程式形式的实验者可以选择最合适，最方便的系统进行。而且白金汉π定理提供了变量及基础量纲个数之间的关系。

简述

会假设基本物理量及衍生物理量的空间会形成一个有理数的向量空间，基本物理量为单位向量，而物理量之间的相乘变成向量的加法，而物理量的次幂变成向量的标量乘法：

用基本物理量及其次幂表示现象中有关的物理量（若某一基本物理量没有出现在物理量的表示式中，基本物理量的次幂写0即可）。例如标准重力 g 的单位为${\displaystyle D/T^{2}=D^{1}T^{-2}}$ （距离除以时间平方），因此若基本物理量为（距离, 时间），标准重力会用向量${\displaystyle (1,-2)}$ 表示。

因此找到物理量可组成的无量纲量，就变成在物理单位的向量空间中处理线性限制的问题。

量纲矩阵及无量纲量

假设一个系统，其中有n个有量纲的参数，其基本量纲有k个。即可定义其量纲矩阵，其各行为基本量纲，而各列是有量纲的参数：(i, j)个元素是第j个参数在第i个基本量纲中的幂次项。矩阵可以视为是将所有变量在各基本量纲上的幂次项整合到一个矩阵中。

无量纲变量是指在各基本量纲上的幂次均为0（向量空间中的零向量），也等于矩阵的核。

根据秩－零化度定理，有n向量（矩阵的列）且有k个线性无关向量的系统，其零化度p会满足(p = n − k)，其中零化度是额外量纲的个数，可以选为无量纲量。

无量纲量可以用量纲量的整数次乘积及除法表示。在数学上没有哪一种无量纲量的选择是比较自然的，不过有些无量纲量会比较有物理意义，理想上也会以这类选择为主。

速度

以下的例子很简单，但已足以说明白金汉π定理。

假设一部车以时速100 km/h的速度行驶，行驶200 km需要多少时间？

问题中有三个量纲：距离D、时间T及速度V。这些量纲可以用二个基本量纲组成：时间T及距离D，因此会有3 − 2 = 1个无量纲量。

其量纲矩阵为

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{bmatrix}}.}$ 

其各行对应基本量纲D及T，而列对应三个量纲D、T及V。例如第三列(1, −1)，所以量纲V（速度）用基本量纲表示时，为 ${\displaystyle D^{1}T^{-1}=D/T}$ 。

为了要求得无量纲的常数${\displaystyle \pi =D^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}}}$ ，需找到一个向量${\displaystyle a=[a_{1},a_{2},a_{3}]}$ 使得矩阵M和向量a的乘积是零向量[0,0]。在线性代数中，向量a称为矩阵M的核，可以生成矩阵的零空间，在此例中，零空间是一维的。以上写的矩阵是为行规范形矩阵，因此可以计算得到向量a如下，顶多再加一个和向量相乘的系数：

${\displaystyle a={\begin{bmatrix}-1\\1\\1\\\end{bmatrix}}.}$ 

若量纲矩阵还不是行规范形矩阵，也可以用高斯消元法得到量纲矩阵的核，因此要求的无量纲数可以写成下式：

${\displaystyle \pi =D^{0}T^{0}V^{0}=D^{-1}T^{1}(D^{1}T^{-1})=D^{-1}T^{1}V^{1}=TV/D}$ .

根据量纲分析，可以得到有关上述三个物理量之间的关系式：

${\displaystyle f(\pi )=0,}$ 

可以写成：

${\displaystyle T={\frac {CD}{V}},}$ 

其中C是使${\displaystyle C=f^{-1}(0)}$ 成立的常数。若刚刚的向量a有再加上系数，所求得的C也会随之不同，是原来C值的乘幂。

这三个变量之间的关系其实是${\displaystyle D=VT}$ ，因此实际的无量纲量方程（${\displaystyle f(\pi )=0}$ ）为：

${\displaystyle f(\pi )=\pi -1=VT/D-1=0.}$ 

换句话说C只有一个值，就是1，不过这个资讯不是靠量纲分析所能得到的。

单摆

第二个问题是要确认单摆在小幅度振动情形下的周期T，假设周期是长度L、质量M以及地表重力加速度g的函数。其模型如下

${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.\,}$ 

（此处写成四个物理量之间的关系，不是直接将周期T写成另M, L及g的函数）

在上式中有三个基本物理量：时间t、质量m以及长度l，以及四个有量纲的物质量。因此只会有4 − 3 = 1个无量纲量，称为π，模型可以改写为

${\displaystyle f(\pi )=0,}$ 

其π为

${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$ 

而a₁, ..., a₄为待确定的数值

上述物理量的量纲为：

${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$ 

量纲矩阵为：

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$ 

（行表示基本量纲t、m及l，而列表示物理量T, M, L和g。例如第四行为(−2, 0, 1)表示变量g的量纲为${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}}$ ）

计算的目的是要找核向量a = [a₁, a₂, a₃, a₄] 使得矩阵M和向量a的乘积为零向量[0,0,0]。上述的量纲矩阵为列规范形矩阵，因此可以得到核向量a如下：

${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$ 

因此无量纲量为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$ 

若只考虑基本量纲：

${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}(\ell /t^{2})^{1}=1,}$ 

也是无量纲量。

这个例子比较简单，因为四个物理量中有三个是基本单位，因此最后一个（g）的单位可以从前三个单位变换而来。注意若a₂不为零，没有其他的方式可以将M的单位消去，因此a₂需为零。量纲分析允许单摆的周期不是质量的函数。（在质量、时间及距离三维组成的三维空间中，质量的向量和其他三个单位的量纲向量是线性无关的，因此若不考虑比例的系数，只有${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$ 是唯一可组成无量纲参数的非显然解。）

因此模型可以用下式表示：

${\displaystyle f(gT^{2}/L)=0.\ }$ 

假设f只有有限个零点，即可令gT²/L = C_n，其中C_n为第n个零点。若只有一个零点，则gT²/L = C。需要更多物理的概念或是实验才能确认此函数只有一个零点，因此C = 4π²。

若单摆的振幅较大，分析会比较复杂，需要导入额外的量纲变量（最大摆动角度）。上述的分析在摆动角度接近零时有很好的近似效果。

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