可加性
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可加性是指对于某种变换来说,特定的“加法”和该变换的顺序可颠倒而不影响结果,这样一种性质。
例如对于两个实数 x 和 y,我们可以先执行加法 x+y、后把结果乘以二;也可以先各自乘以二然后再相加,两边结果是一样的。那么我们说变换“乘以二”具有可加性。
定义
一个函数f:A→B,其定义域A和陪域B上分别定义了某种加法 和 。若该函数满足:∀x,y∈A,有 。则称f对于 和 满足可加性。在上下文对于 和 都很明确的情况下,通常简称为 f 满足可加性,亦称f为可加函数。
若上述函数f满足:∀有限集 ,有 ,则称f满足有限可加性。
若上述函数f满足:∀可列集 ,有 ,则称f满足可列可加性。
示例
- 定积分的可加性:设 ,那么 ——积分区间是可加的。
- 集函数的可加性:定义域为集类S,值域为[0, ∞]上的广义实值集函数f,若:
- ,有 ,则称f为可加的。
- ,有 ,则称f为有限可加的。
- ,有 ,则称f为可列可加的。