可加性

可加性是指对于某种变换来说,特定的“加法”和该变换的顺序可颠倒而不影响结果,这样一种性质。

例如对于两个实数 x 和 y,我们可以先执行加法 x+y、后把结果乘以二;也可以先各自乘以二然后再相加,两边结果是一样的。那么我们说变换“乘以二”具有可加性。

定义

一个函数f:A→B,其定义域A和陪域B上分别定义了某种加法  。若该函数满足:∀x,y∈A,有 。则称f对于  满足可加性。在上下文对于  都很明确的情况下,通常简称为 f 满足可加性,亦称f为可加函数

若上述函数f满足:∀有限集 ,有 ,则称f满足有限可加性

若上述函数f满足:∀可列集 ,有 ,则称f满足可列可加性

示例

  • 定积分的可加性:设  ,那么 ——积分区间是可加的。
  • 集函数的可加性:定义域为集类S,值域为[0, ∞]上的广义实值集函数f,若:
    •  ,有 ,则称f为可加的。
    •  ,有 ,则称f为有限可加的。
    •  ,有 ,则称f为可列可加的。