积分符号内取微分

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,{\vec {\textbf {v}}}\cdot {\vec {\textbf {n}}}\,dA,\,}$ 

引理1:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=-f(a).}$ 

证明:由微积分基本定理的第一部分，加上实际的推导上，偏微分相当于将其他变数视为常数做微分，这样就有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=f(b)\\{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=-{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{b}^{a}f(x)\;\mathrm {d} x\right)\\&=-f(a)\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle \Box }$ 

引理2:

假设 a 和 b 是常数, f(x) 涉及常参数 α 的积分，但会形成不同积分.假设函数 f(x, α) 在紧致集 {(x, α) : α₀ ≤ α ≤ α₁ and a ≤ x ≤ b} 上连续, f 对 α 的偏导 f_α(x, α) 存在且连续, 定义函数${\displaystyle \psi (\alpha )}$  (这里将a和b看做是与 α 无关的常数，即a和b不随 α 的增大而增大 ):

${\displaystyle \psi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x.}$ 

${\displaystyle \psi }$  可以对 ${\displaystyle \alpha }$  在积分符号内取微分,即

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,}$ 

证明:由海涅－康托尔定理，函数${\displaystyle f(x,\alpha )}$ 在集合中一致连续. 即对任意 ε > 0 ，存在 Δα 使得对任意 x ∈ [a, b]，均有:

${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$ 

另一方面:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi &=\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )\\&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\;\mathrm {d} x\\&\leq \varepsilon (b-a)\end{aligned}}}$ 

因此 ${\displaystyle \psi (\alpha )}$  是连续函数.

同理， 如果 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )}$  存在且连续, 则对任意 ε > 0 存在 Δα ，使得:

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$ 

因此,

${\displaystyle {\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\;\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \,f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,\mathrm {d} x+R}$ 

这里

${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \;\mathrm {d} x=\varepsilon (b-a).}$ 

令 ε → 0 且 Δα → 0, 从而有,

${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\rightarrow 0}{\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}={\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,}$ 

证毕.

现在给出定理的证明.

证明:

定义函数${\displaystyle \varphi (\alpha )}$ ，有

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x=\varphi (\alpha ),}$ 

这里a 与 b 是关于 α 的函数，随α的增加分别增加 Δa 和 Δb,即当 α 增加 Δα时,有

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x\,-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\,\\&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=-\int _{a}^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$ 

由积分中值定理得 ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi ),}$  这里 a < ξ < b, 从而上式变为

${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )}$ 

${\displaystyle =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )}$ .

上式除以 Δα, 令 Δα → 0, 此时 ξ₁ → a 且 ξ₂ → b,由引理2：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x}$ 

和引理1，得

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$ 

定理得证.

^[1]由富比尼定理,

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{c}^{y}\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dxdz\right)={\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}\int _{c}^{y}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dzdx\right)}$ 

由微积分基本定理的第一形式^[2], 左边等于

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx.}$ 

由微积分基本定理的第二形式^[3], 右边等于

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}(f(x,y)-f(x,c))dx\right).}$ 

被积函数的第二部分${\displaystyle f(x,c)}$ 不含 y，所以它对 y 的导数是0，所以右边等于

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}f(x,y)dx\right).}$ 

证毕

积分符号内取微分曾在已故的物理学家理查德·费曼的最畅销的回忆录《别闹了，费曼先生！》（在“一个不同的工具箱”一章中）中提到过，他提到他是高中时从一本旧书《高等微积分》（1926年）中学到的，书的作者是弗雷德里克·S·伍兹（美国麻省理工学院数学系教授）。这种方法在费恩曼以后接受正规教育时很少被教授。而因为知道这种方法，使得费恩曼在普林斯顿大学读研究生时能够用其解一些困难的积分问题。《别闹了，费曼先生！》中关于在积分符号内取微分方法的原文如下：

费曼积分法——积分符号内取微分：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1615/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. ^ 存档副本 (PDF). [2022-10-20]. （原始内容存档 (PDF)于2017-10-31）. 
2. ^ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{a}^{t}f(x)dx\right)=f(t)}$ 
3. ^ ${\displaystyle \int _{a}^{b}F^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)}$