连续时间
降阶的LQG控制问题几乎和全阶的LQG控制问题相同。令 表示降阶LQG控制器的状态,唯一的差异是LQG控制器的状态维度 是事先定义好的值,比受控系统的状态维度 要少。
降阶LQG控制器可以表示为下式:
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上述公式刻意写的类似传统全阶LQG控制器的形式,降阶的LQG控制问题也可以改写为下式:
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其中
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降阶LQG控制器的矩阵 和 是由所谓的最佳投影方程(optimal projection equations、OPE)来决定[3]。
维的最佳投影方阵 是OPE的核心。此矩阵的秩在所有状态下几乎都等于 。相关投影为斜投影(oblique projection): 。最佳投影方程包括四个矩阵微分方程。前二个是LQG控制器对应的矩阵Riccati微分方程的扩展。在方程式中 表示 ,而 为 维的单位矩阵
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若LQG的维度没有减少,也就是 ,则 ,上述二个方程就是二个没有耦合的矩阵Riccati微分方程,对应全阶的LQG控制器。若 ,则两个方程会有斜投影项 。这也是为何降阶的LQG控制器无法分离的原因,斜投影 是由另外二个矩阵微分方程所决定,其中也和秩的条件(rank conditions)有关。这四个矩阵微分方程组成了最佳投影方程。为了要列出另外二个矩阵微分方程,先定义以下二个矩阵:
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则最后二个矩阵微分方程如下:
- almost everywhere,
- almost everywhere,
其中
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此处的 * 表示群广义逆矩阵(group generalized inverse)或Drazin逆矩阵,是唯一的,定义如下
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其中 + 是摩尔-彭若斯广义逆.
矩阵 都需要是非负对称矩阵。可以建构最佳投影方程的解,而此解可以决定降阶LQG控制器矩阵 和 :
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上式中的矩阵 是符合以下性质的矩阵:
- 几乎在所有状态下。
可以由 的投影分解中得到[4]:
若降阶LQG问题中的所有矩阵都是非时变的,且最终时间(horizon) 趋近无限大,则最佳降阶LQG控制器和最佳投影方程也都会是非时变的[1]。此情形下,最佳投影方程左侧的微分项会为零。
离散时间
离散时间的情形类似连续时间的例子,要处理的是将 阶传统离散时间全阶LQG问题转换为事先已知固定阶数的 阶降阶LQG控制器。为了要表示离散时间的OPE,先引入以下二个矩阵:
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则离散时间OPE为
- .
- .
- almost everywhere,
- almost everywhere.
斜投影(oblique projection)矩阵为
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非负对称矩阵 是离散时间OPE的解,也决定了降阶LQG控制器的矩阵 and :
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在上述的方程中,矩阵 是有以下性质的矩阵:
- 几乎在所有状态下。
这些矩阵可以从 的投影因式分解中求得[4]。
如同在连续时间中的例子一样,若问题中所有的矩阵都是非时变,且且最终时间(horizon) 趋近无限大,降阶LQG控制器就会是非时变的。因此离散时间OPE会收敛到稳态解,决定非时变的降阶LOG控制器[2]。
离散时间OPE也可以应用在状态维度,输入维度或是输出维度可变的离散时间系统(具有时变维度的离散时间系统)[6]。若在数位控制器中的取样是不同步的,就可能会出现这类的系统。