对数凸函数

对数凸函数或超凸函数^[1]为一种定义在实数向量空间中凸集内，且其值为正数的函数f，若 ${\displaystyle {\log }\circ f}$（函数f取对数后的数值）仍为凸函数，原函数即为对数凸函数。对数函数会大幅降低函数成长的速率，因此若取对数后仍为凸函数，表示函数上升的速度比凸函数还快，因此会称为超凸函数。

对数凸函数f 本身是凸函数，因为这是递增凸函数${\displaystyle \exp }$及${\displaystyle \log \circ f}$（依定义是凸函数）的复合函数。但凸函数和对数的复合函数不一定都是凸函数。像${\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}$是凸函数，但${\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}$不是凸函数，因此${\displaystyle g}$不是对数凸函数。另一方面，${\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}$是对数凸函数因为${\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}$是凸函数。

像在正实数（英语：Positive real numbers）上的Γ函数就是对数凸函数（参见波尔-莫勒鲁普定理（英语：Bohr–Mollerup theorem））。