维格纳准概率分布

一个经典的粒子具有确定的位置和动量，因此它是由相空间中的点表示。 在刘维尔密度中，发现粒子在相空间中特定位置的概率是由一个概率分布决定。然而由于不确定性原理，这种严格的解释未能阐述量子粒子。相反地，准概率维格纳分布扮演一个类似的角色，虽然并不满足所有传统概率分布特性但满足经典分布不能使用有界的特性。

例如，维格纳分布通常可分析负的状态，是量子波干涉方便的指标。透过一个尺寸大于ħ的滤波器(例如，用一个相空间高斯，一个魏尔斯特拉斯函数转换来得到Husimi表示式如下)可以平滑化维格纳分布，创造一个正半定的功能。^[5]

负值的区域可以被证实是小的，这些区域不能延伸到紧凑区域以外几个ħ，所以根据经典极限论'消失。由于不确定性原理不允许 相空间区域小于ħ内精确位置，因此反应"负的概率"少一点的自相矛盾。

维格纳分布P(x,p)定义如下:

${\displaystyle P(x,p)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy\,}$

其中ψ为波函数，x和p为位置和动量但也可以是任何共轭变量对（即电场的信号的或频率和时间的实部和虚部）。

也可以写成，

${\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq}$ 

φ为ψ的傅里叶转换.

在3D里，

${\displaystyle P({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}$ 

一般情况下密度矩阵的维格纳分布，包含混合态，

${\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x+y|{\hat {\rho }}|x-y\rangle e^{-2ipy/\hbar }\,dy,}$ 

其中⟨x|ψ⟩ = ψ(x).这个维格纳转换是魏尔变换的反转换，它映射相空间方程至希尔伯特空间。

因此，维格纳函数是量子力学在相空间的基石。

1949年何塞·恩里克·莫雅尔阐明维格纳分布是如何提供相空间的整合测量(类似于一个概率密度分布)，让相空间方程的期望值g(x,p)能够由魏尔转换(即魏尔变换和以下的性值七)以经典概率论的方法唯一的和运算子Ĝ产生关联。

特别地，Ĝ的期望值是维格纳变换的"相空间平均"，如下

${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int \!dx\,dp~P(x,p)~g(x,p)~.}$ 

1. P(x, p)是实数

2. x 和p的概率分布由边缘决定：

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$ 如果系统是纯态，则${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}}$ 
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle }$ . 如果系统是纯态，则${\displaystyle \int _{\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=|\varphi (p)|^{2}}$ 
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=Tr({\hat {\rho }})}$ 
• 通常密度矩阵ρ̂的秩为1

3. P(x, p)有以下的反射对称性：

• 时间对称性：${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)}$ 
• 空间对称性：${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(-x,-p)}$ 

4. P(x, p)是伽利莱协变：

• ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x+y,p)}$ 
• 不是劳伦兹协变性

5. 如果没有外力作用，在相位空间中每个点的运动方程符合经典力学：

• ${\displaystyle {\frac {\partial P(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial P(x,p)}{\partial x}}}$ 

事实上如果外力是谐波也满足

6. 状态重叠的计算公式：

• ${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)}$ 

7. 期望值运算子被认为是维格那变换的相空间平均：

• ${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle x-y/2|{\hat {G}}|x+y/2\rangle e^{ipy/\hbar },}$ 
• ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =Tr({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dpP(x,p)g(x,p).}$ 

8. 为了使P(x, p)代表物理(正)密度矩阵：

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)P_{\theta }(x,p)\geq 0~,}$ 

9. 利用柯西- Schwarz不等式，对于纯的状态，它被限制为有界，

• ${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq P(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$ 

对于希伯特空间的运算子Ĝ和相空间的g(x,p)而言，维格纳变换是一般的反转换，如下：

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds~e^{ips/\hbar }\langle x-{\frac {s}{2}}|\ {\hat {G}}\ |x+{\frac {s}{2}}\rangle .}$ 

厄密特运算子映射至实域。它的反转换被称为魏尔转换，

${\displaystyle \langle x|\ {\hat {G}}\ |y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{dp \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({x+y \over 2},p\right),}$ 

虽然维格纳准概率分布具有好的时频聚集性，但是，对于多分量的讯号，会出现所谓的”交叉项”，是一种”虚假讯号”，这是维格纳准概率分部的一大缺陷。

交叉项是因为多个分量的讯号中不同讯号之间的交叉作用，而在时频分部中，交叉项一般会有震荡的现象，并且导致讯号的时频特征模糊。

因此，如何有效的抑制交叉项，对时频分析来说是个重要的议题。^[7]。

• 在光学系统像是望远镜或光纤通讯设备中的设计，维格纳方程被用来桥接简单光线追迹和系统的全波分析之间的差距。在这方面，维格纳方程是最好的方法能描述系统中的光线位置x 及角度θ且包含干扰的影响。
• 在信号分析中，维格纳方程能表示随时间变换的电信号，机械震动或是声波。这里，x取代时间，p/ħ取代角频率ω = 2πf。
• 在超快光学，短激光脉冲具有维格纳方程的特性，参数和上一行一样。参见图七。

• M. Levanda and V Fleurov, "Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields", Annals of Physics, 292, 199–231 (2001). arXiv:cond-mat/0105137

• Wigner function tutorial and Gallery of WFs （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Institute for Quantum Information Science (IQIS), University of Calgary
• Quantum Optics Gallery （页面存档备份，存于互联网档案馆）