原始数

原始数primeval number)是指一个自然数n,可以用其十进制下的各位数组合出其他素数,而且其素数的数量比其他较小数字所能产生的素数更多。数学家Mike Keith是第一个提出原始数概念的人。

13为例,所有的1位数最多都只能产生一个素数,10可以组合出0,1,10,都不是素数,11可以组合出,1,11,其中只有11是素数,12可以组合出1,2,12,21,其中只有2是素数,而13可以组合出1,3,13,31,其中可组合出3,13,31等3个素数,比用其他较小数字时所能产生的素数要多,因此13是原始数。

头几个原始数是:

1, 2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1037, 1079, 1237, 1367, ... (OEIS数列A072857

其可以产生的素数个数为:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 19, 21, 26, 29, ... (OEIS数列A076497

n位数的原始数选择一个,所能产生的最多素数的个数为:

1, 4, 11, 31, 106, ... (OEIS数列A076730

依上述方式,在n位数的素数中可以产生的最小素数为:

2, 37, 137, 1379, 13679, ... (OEIS数列A134596

原始数不一定要是素数,第一个是合数的原始数是1037 = 17×61,原始素数(Primeval prime)是指同时是原始数及素数的数:

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, ... (OEIS数列A119535

以下列出前6个原始数及其可以产生的素数:

原始数 产生素数 素数个数
1 0
2 2 1
13 3, 13, 31 3
37 3, 7, 37, 73 4
107 7, 17, 71, 107, 701 5
113 3, 11, 13, 31, 113, 131, 311 7

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