累进可除数
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累进可除数(英语:Polydivisible number)是有以下特质的整数:首个位非零,而且由它首个位组成的数是的倍数。
例如345654:
而123456就非累进可除数,因为1234不是4的倍数。
累进可除数可以在不同的进位制中定义。本条目仅谈论十进制中的情况。
背景
累进可除数是趣味数学上的一道名题的一般化:
- 用1至9排列成一个数,使其首2个位能被2除尽,首3个位能被3除尽,如此类推,整个数是9的倍数。
虽然9位的累进可除数有2492个,但唯一一个包含1至9的数字而不重复的只有一个,是381,654,729。
累进可除数的数目
若 是 位的累进可除数,若有 和 之间有数可以被 整除, 便可以扩充一个位,成为n位的累进可除数。若 ,必定可以由 位的累进可除数扩充成n位的累进可除数,且有多于一个可行的扩充办法。反之,若 , 越大,能够扩充成为另一个累进可除数的办法随之而越少。因此,将累进可除数的分布画成曲线图,会得出一条钟形曲线。
平均来说,每个 位的累进可除数扩充成n位的累进可除数有 种方法。这产生了以下这条用以估计n位的累进可除数数目的公式(以 表示 位累进可除数的数目):
将所有 之值加起来套入此式,就得出所有累进可除数的数目:
位数 | 估计值 | |
---|---|---|
1 | 9 | 9 |
2 | 45 | 45 |
3 | 150 | 150 |
4 | 375 | 375 |
5 | 750 | 750 |
6 | 1200 | 1250 |
7 | 1713 | 1786 |
8 | 2227 | 2232 |
9 | 2492 | 2480 |
10 | 2492 | 2480 |
11 | 2225 | 2255 |
12 | 2041 | 1879 |
13 | 1575 | 1445 |
14 | 1132 | 1032 |
15 | 770 | 688 |
16 | 571 | 430 |
17 | 335 | 253 |
18 | 180 | 141 |
19 | 90 | 74 |
20 | 44 | 37 |
21 | 18 | 17 |
22 | 12 | 8 |
23 | 6 | 3 |
24 | 3 | 1 |
25 | 1 | 1 |
最长的累进可除数有25位,等于360,852,885,036,840,078,603,672,5。
相关问题
外部链接
- Nine Digit Number (页面存档备份,存于互联网档案馆)(英文)
- [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)(意大利文)