独立性 (数理逻辑)

在数理逻辑上，独立性指的是一个句子相对于其他句子的不可证明性。

若一个句子独立于一个一阶理论（英语：Theory (mathematical logic)），那就表示说在中是不能证明也不能否证的，也就是说不能由证明，也不能由证明为伪。对于这样的，有时会说在中是不可判定的，而这里的“不可判定”跟决定性问题中的“不可判定”是不同的。

若理论中的每项公设都不能由中的其他公设证明，则说是独立的，一个有着独立公设集合的理论又称可独立公设化的。

用法注意

在一些作者的用法下，“ 独立于 ”只表示“ 在 中是不能证明的”，但不表示 是不能否证的，而这些作者在讲说“ 在 中是不能证明也不能否证的”时候，常会说“ 是独立且自洽于 的。”

集合论中的独立结果

在假定ZFC（带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）本身自洽的状况下，下述的问题是独立于ZFC的：

下述的问题不相容于选择公理，故不与ZFC相容；然而这些问题很可能独立于ZF；换句话说下述的问题不能在ZF中证明，且只有少数的集合论专家期望在ZF中找到这些问题的否证；然而即使ZF是自洽的，也无法以ZF证明下述的问题独立于ZF：

在物理理论上的应用

自2000年起，学界开始认为逻辑独立性在物理基础上扮演着关键角色。[1][2]

参见

注解

  1. ^ Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č., Logical independence and quantum randomness, New Journal of Physics, 2010, 12: 013019, Bibcode:2010NJPh...12a3019P, arXiv:0811.4542  , doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019 
  2. ^ Székely, Gergely, The Existence of Superluminal Particles is Consistent with the Kinematics of Einstein's Special Theory of Relativity, Reports on Mathematical Physics, 2013, 72 (2): 133–152, Bibcode:2013RpMP...72..133S, arXiv:1202.5790  , doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9 

参考资料

  • Mendelson, Elliott, An Introduction to Mathematical Logic 4th, London: Chapman & Hall, 1997, ISBN 978-0-412-80830-2 
  • Monk, J. Donald, Mathematical Logic , Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90170-1 
  • Stabler, Edward Russell, An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1948