示性函数 (凸分析)

数学领域的凸分析中,集合的“示性函数”为凸函数,用于表示给定元素是否为该集合的成员(或非成员)。尽管与常规示性函数定义相似,两者也可以相互转换,但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。

定义

假设  集合  子集  的 “示性函数”

 

扩展实数线上的值定义为

 

与指示函数的关系

  为一般指示函数:

 

若采用如下约定

  • 对于任意   以及  
  •  ;且
  •  

那么,指示函数与示性函数满足如下关系

 

同时,

 

参考文献

  • Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6.