扩展
对任意实数 ,定义 ,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界和下确界:这是一个完备格。全序关系在 上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合 是 的邻域,当且仅当它包含集合 ,这里 是某个实数。 的邻域类似。 是个紧致的豪斯多夫空间,与单位区间 同胚。
上的算术运算可以部分地扩展到 ,如下:
-
通常不定义 , 。同时 也不定义为 (因为这样忽视了 ),这些规则是根据无穷极限的性质确定的。
注意在这些定义下, 不是域,也不是环。
性质
经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质:
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 相等或同时没有定义。
- 和 若都有定义则相等。
- 若 且 和 都有定义,则 。
- 若 且 且 和 都有定义,则 。
通常只要表达式都有定义,所有算术性质在 上都成立。
使用极限,一些函数可以自然地扩展到 。例如可以定义 等。
参见