守恒量

根据动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力，其总向量和为零，则这粒子的动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀速运动或著静止不变。^[2]以方程表达，假设粒子感受到的合外力为零：

${\displaystyle \mathbf {F} =0}$  。

根据牛顿第二定律，合外力与动量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  的关系式为

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$  。

所以，动量是一个常数，是一个守恒量。

根据角动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力矩，其其总向量和为零，则这粒子的角动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀角运动或直线运动。^[2]以方程表达，假设粒子感受到的合外力矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$  为零：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=0}$  。

合外力矩与角动量 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$  的关系式为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}}$  。

所以，角动量是一个常数，是一个守恒量。

在经典力学里，粒子的能量定义为动能与势能的代数和。根据能量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力都是保守力，则这粒子的能量保持不变，是一个守恒量。^[2]以方程表达，能量 ${\displaystyle E}$  为动能 ${\displaystyle T}$  与势能 ${\displaystyle V}$  的代数和

${\displaystyle E=T+V}$  。

粒子的动能与运动速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$  的关系为

${\displaystyle T=mv^{2}/2}$  ；

其中，${\displaystyle m}$  是粒子的质量。

而对于保守系统，势能与净保守力 ${\displaystyle \mathbf {F} }$  的关系为

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V}$  ；

能量对于时间的导数为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0}$  。

所以，能量是一个常数，是一个守恒量。

思考一个物理系统，其拉格朗日量是动能 ${\displaystyle T}$  与势能 ${\displaystyle V}$  的差值：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$  。

通常，动能的参数为广义速度 ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}}$  （符号上方的点号表示对于时间 ${\displaystyle t}$  的全导数），而势能的参数为广义坐标 ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t}$  ，所以，拉格朗日量的参数为 ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t}$  。

这物理系统的运动轨道，以拉格朗日方程表示为

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle t}$  是时间。

拉格朗日量对于时间的全导数为

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$  。

将拉格朗日方程代入，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$ 。

定义“能量函数” ${\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)}$  为

${\displaystyle {\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}}$  ，

则能量函数与拉格朗日量的关系为

${\displaystyle {\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$  。

假若拉格朗日量显性地与时间无关，${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0}$  ，${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N})}$  ，则能量函数是一个常数，是一个守恒量。设定 ${\displaystyle {\mathit {h}}=E}$  ，这常数 ${\displaystyle E}$  可以称为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。

• 李亚普诺夫函数
• 哈密顿系统
• 守恒定律