马蒂厄方程

椭圆柱小波是一种广泛的小波系统。其特点在于可使用多分辨率分析。细节滤波器和平滑滤波器的振幅对应到奇数特征指数的第一种马蒂厄函数，透过选择特征指数可以很容易的设计这些滤波器的凹陷处数目。透过此方法^[2]得到的椭圆柱小波会因为它的对称性有可能应用在光学和电磁学的领域中。

马蒂厄方程式跟椭圆柱的波方程式很有关联。在1868年，这位法国数学家埃米尔·伦纳德马蒂厄提到这种微分方程式，也就是现在所说的马蒂厄方程式。^[3]

给定一个${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,q\in \mathbb {C} }$ ，马蒂厄方程式可写成

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dw^{2}}}+(a-2q\cos 2w)y=0.}$ 

马蒂厄方程式是一个有周期性系数的二阶线性微分方程式。当q = 0，就成为有名的谐振子，a是频率的平方。^[4]

马蒂厄方程式的解是椭圆柱谐波，也就是马蒂厄函数。它们被用在巨观下有椭圆几何的波导问题很长一段时间，其中包含：

1. 阶跃折射率椭圆芯光导纤维的弱波导分析
2. 椭圆波导管的电力传输
3. 椭圆喇叭天线的辐射波评估
4. 任意离心率${\displaystyle \nu }$ 的椭圆环微带天线
5. 涂层带的散射

一般来说，马蒂厄方程式的解没有周期性。然而，在给定一个q的情况下，对a的无限多个特征值而言周期性的解确实存在，在一些有物理意义的解中y必须为周期性且周期为${\displaystyle \pi }$  或 ${\displaystyle 2\pi }$ 。这使得我们很方便就能区分偶数或奇数周期解，也就是第一种马蒂厄函数。

四种简单的分类为：对称性(偶函数或奇函数)、周期性(${\displaystyle \pi }$  或 ${\displaystyle 2\pi }$ )的解。

当${\displaystyle q\neq 0}$ ，唯一的周期性解y对应到任何特征值${\displaystyle a=a_{r}(q)}$  或 ${\displaystyle a=b_{r}(q)}$ 可写成：

ce 和 se分别为余弦椭圆函数和正弦椭圆函数的缩写。

• 奇数周期的解:

${\displaystyle ce_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\cos {m\omega }{\text{ for }}a=a_{r}(q)}$ 

• 偶数周期的解:

${\displaystyle se_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\sin {m\omega }{\text{ for }}a=b_{r}(q)}$ 

若y的周期是${\displaystyle \pi }$ ，m就要为偶数。若y的周期是${\displaystyle 2\pi }$ ，m就要为奇数。

给定一个r的情况下，可以把${\displaystyle A_{r,m}}$  缩写成 ${\displaystyle A_{m}}$ 。

当${\displaystyle q\to 0}$ , ${\displaystyle r\neq 0}$ ，就能发现下列关系：

${\displaystyle \lim _{q\to 0}ce_{r}(\omega ,q)=\cos {r\omega }}$ 

${\displaystyle \lim _{q\to 0}se_{r}(\omega ,q)=\sin {r\omega }}$ 

图1显示两个余弦椭圆函数的波型，其形状会被参数${\displaystyle \nu }$  和 q影响。

母小波和缩放函数分别被写成 ${\displaystyle \psi (t)}$  和 ${\displaystyle \phi (t)}$ ， 其对应的频谱分别为 ${\displaystyle \Psi (\omega )}$  和 ${\displaystyle \Phi (\omega )}$ 。

缩放函数${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in Z}h_{n}\phi (2t-n)}$  是决定多分辨率分析的重要条件。

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}h_{k}e^{j\omega k}}$  是平滑滤波器的转换方程式。

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}g_{k}e^{j\omega k}}$  是细节滤波器的转换方程式。

马蒂厄小波-细节滤波器的转换方程式：

${\displaystyle G_{\nu }(\omega )=e^{j(\nu -2)[{\frac {\omega -\pi }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega -\pi }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}.}$ 

马蒂厄小波-平滑滤波器的转换方程式：

${\displaystyle H_{\nu }(\omega )=-e^{j\nu [{\frac {\omega }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}.}$ 

为了确保有适当的初始条件，须要选定特征指数${\displaystyle \nu }$ ，像是小波滤波器的需求条件${\displaystyle G_{\nu }(0)=0}$  和 ${\displaystyle G_{\nu }(\pi )=1}$ ，因此${\displaystyle \nu }$ 就必须为奇数。

转换方程式的振幅刚好对应正弦椭圆函数的模。

图2是马蒂厄多分辨率分析滤波器的转换方程式，a的值被调整为该情况的特征值，导出一个周期性的解，这些解显示在${\displaystyle 0\leq |\omega |\leq \pi }$ 区间内有${\displaystyle \nu }$ 次过零点。

马蒂厄细节滤波器和平滑滤波器的系数可以由马蒂厄函数的值${\displaystyle \{A_{2l+1}\}_{l\in Z}}$ 表示成：

${\displaystyle {\frac {h_{l}}{\sqrt {2}}}=-{\frac {A_{|2l+1|}/2}{ce_{\nu }(0,q)}}}$ 

${\displaystyle {\frac {g_{l}}{\sqrt {2}}}=(-1)^{l}{\frac {A_{|2l-3|}/2}{ce_{\nu }(0,q)}}}$ 

这些系数存在着递回关系是：

${\displaystyle (a-1-q)A_{1}-qA_{3}=0}$ 

${\displaystyle (a-m^{2})A_{m}-q(A_{m-2}+A_{m+2}=0}$ 

当${\displaystyle m\geq 3}$ ，m为奇数。

这也直接显示${\displaystyle h_{-l}=h_{|l|-1}}$ , ${\displaystyle \forall l>0}$ 。

标准化的情形为${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{h_{k}=-1}}$  and ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{(-1)^{k}h_{k}=0}}$ 。

借由串联算法，可以从低通重建滤波器导出马蒂厄小波。因为马蒂厄小波没有紧支撑，滤波器必须使用无限脉冲响应滤波器。图3为形成波形的三个阶段，可看到逐渐形成小波的形状。根据参数a 和 q的设定，一些波形可能形成有点不寻常的形状。