刘维尔定理 (微分代数)

一个域 ${\displaystyle F}$ （元素是函数）及相应的运算 ${\displaystyle \delta }$ （对函数的导数）构成的代数结构 ${\displaystyle (F,\delta )}$  称为 微分域。若对于 ${\displaystyle \forall f,g\in F}$  有

${\displaystyle \delta (f+g)=\delta (f)+\delta (g),\quad \delta (fg)=\delta (f)g+f\delta (g)}$ 

由上式可以得到通常导数的一些性质。

${\displaystyle \delta (g^{n})=ng^{n-1}\delta (g)}$ 

${\displaystyle \delta ({\frac {f}{g}})={\frac {\delta (f)}{g}}+f\delta ({\frac {1}{g}})={\frac {\delta (f)}{g}}-{\frac {f}{g^{2}}}\delta (g)}$ 

设 ${\displaystyle (F,\delta )}$  为某个微分域，称

${\displaystyle \mathrm {Con} (F,\delta )=\{f\in F|\delta f=0\}}$ 

为该微分域的常数域。

设 ${\displaystyle h\in K}$ ，K 是 F 的微分域扩张 ${\displaystyle K=F(h)}$ ，${\displaystyle h}$  称为在 ${\displaystyle F}$  上基本初等，若以下三种情况任一成立:

• ${\displaystyle h}$  是 ${\displaystyle F}$  的代数元素。 即存在 ${\displaystyle F}$  中的多项式 ${\displaystyle p(t)(\in F[t])}$ ，使得 ${\displaystyle p(h)=0}$ 。 注意此处多项式 ${\displaystyle p(t)}$  的系数本身也是函数，也即 ${\displaystyle p(t)=0}$  隐式地决定了函数 ${\displaystyle t(x)=h(x)}$ （选定某个解析分支）。称这种情况为代数扩张。

• ${\displaystyle h}$  是 ${\displaystyle F}$  上的超越元素，且 ${\displaystyle \delta h\in F}$ 。可以用对数函数来类比，对于 ${\displaystyle f\in F}$  有 ${\displaystyle \delta (\ln(f))=\delta (f)/f\in F}$ 。 称这种情况为对数扩张。 ${\displaystyle h}$  是 ${\displaystyle F}$  上的对数。

• ${\displaystyle h}$  是 ${\displaystyle F}$  上的超越元素，且 ${\displaystyle \delta h/h\in F}$ 。 可以用指数函数来类比，对于 ${\displaystyle f\in F}$  有 ${\displaystyle \delta (\exp(f))/\exp(f)=\delta (f)\in F}$ 。 称这种情况为指数扩张。 ${\displaystyle h}$  是 ${\displaystyle F}$  上的指数。

微分域的初等扩张是指接连进行如上的扩张得到的微分域 ${\displaystyle F(h_{1},...,h_{n})}$ ，其中 ${\displaystyle h_{j}}$  在 ${\displaystyle F(h_{1},...,h_{j-1})}$  上基本初等。

一个函数 ${\displaystyle f(x)}$  称为初等函数 若它在微分域 ${\displaystyle (\mathbb {C} (x),\mathrm {d} /\mathrm {d} x)}$ （有理函数加普通导数）的某个初等扩张中。

刘维尔第一定理

以下为刘维尔第一定理（Theorem of Liouville-first statement）。

设 ${\displaystyle F}$  为微分域，${\displaystyle K}$  为 ${\displaystyle F}$  的初等扩张，且 ${\displaystyle \mathrm {Con} (K,\delta )=\mathrm {Con} (F,\delta )}$ ，对于 ${\displaystyle f\in F}$ ，存在 ${\displaystyle g\in K}$ , 使得 ${\displaystyle \delta g=f}$ ，则 ^[4][5]

${\displaystyle g=c_{1}\ln(u_{1})+\dotsb +c_{n}\ln(u_{n})+v.}$ 

其中 ${\displaystyle c_{1},...,c_{n}\in \mathrm {Con} (F,\delta )}$ , ${\displaystyle u_{1},...,u_{n},v\in F}$ 

刘维尔第二定理

以下为刘维尔第二定理（Theorem of Liouville-second statement），又称强刘维尔定理（Strong Liouville theorem）。

设 ${\displaystyle F}$  为微分域，${\displaystyle B=\mathrm {Con} (F,\delta )}$ ，若 ${\displaystyle g}$  在 ${\displaystyle F}$  上初等，且满足 ${\displaystyle \delta g=f\in F}$ ，则

${\displaystyle f=c_{1}{\frac {\delta u_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {\delta u_{n}}{u_{n}}}+\delta v.}$ 

其中 ${\displaystyle c_{1},...,c_{n}\in {\bar {B}}}$ ，${\displaystyle v\in F}$ , ${\displaystyle u_{1},...,u_{n},v\in {\bar {B}}F}$ ，${\displaystyle {\bar {B}}}$  是 ${\displaystyle B}$  的代数闭域. 每个 ${\displaystyle F}$  上 ${\displaystyle {\bar {B}}F}$  的自同构交换求和的顺序。

• 注：对于通常所说的初等函数，${\displaystyle \mathrm {Con} (K,\delta )=\mathrm {Con} (F,\delta )=\mathbb {C} }$ ，若限定常数为实数 ${\displaystyle \mathrm {Con} (F,\delta )=\mathbb {R} }$ ，则会使得许多通常初等的原函数“不初等”。例如下面的例子 ${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$ ，其原函数包含虚数。

例如复数域上的有理函数域 ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$  与通常的导数即构成了一个微分域 ${\displaystyle (\mathbb {C} (x),\mathrm {d} /\mathrm {d} x)}$ （有理函数的导数仍是有理函数），该微分域的常数集即是复数集${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。

函数 ${\displaystyle 1/x\in \mathbb {C} (x)}$  的原函数 ${\displaystyle \ln(x)+C}$  不属于微分域 ${\displaystyle (\mathbb {C} (x),\mathrm {d} /\mathrm {d} x)}$ ，但具有如定理所述的对数形式（注意 ${\displaystyle x,C\in \mathbb {C} (x),1\in \mathbb {C} }$ ）。

类似的，${\displaystyle 1/(x^{2}+1)\in \mathbb {C} (x)}$ ，其原函数反正切函数可以表达成对数的形式

${\displaystyle \arctan(x)+C=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+ix}{1-ix}}+C}$ 

显然也有 ${\displaystyle C,{\frac {1+ix}{1-ix}}\in \mathbb {C} (x),-{\frac {i}{2}}\in \mathbb {C} }$ 。

下面考虑 ${\displaystyle f(x)=1/(x\ln(x))}$  的原函数，显然这不属于 ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$  （${\displaystyle \ln(x)}$  是 ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$  上的超越函数）。把 ${\displaystyle \ln(x)}$  添加到 ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$ ，形成更大的微分域 ${\displaystyle (F,\mathrm {d} /\mathrm {d} x),F=\mathbb {C} (x)(\ln(x))}$ （于是 ${\displaystyle f\in F}$ ）。${\displaystyle f(x)}$  的一个原函数是 ${\displaystyle \ln(\ln(x))}$ ，于是我们再次看到，使用包含 ${\displaystyle f(x)}$  的微分域 ${\displaystyle F}$  里的函数的对数，表达出了 ${\displaystyle f(x)}$  的原函数。

事实上，Risch 1969 年的论文表明，对于任意复杂的初等函数，总可以找到适当的包含 ${\displaystyle f(x)}$  的微分域 ${\displaystyle F}$ ，以及从 ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$  开始的初等域扩张塔 ${\displaystyle \mathbb {C} (x,x_{1},...,x_{n})=F}$ 。并在此扩张塔的基础上，基于刘维尔定理找到其初等原函数，或证明不存在这样的初等原函数（参见 Risch算法）。^[5]

设想我们想知道形如 ${\displaystyle f(x)e^{g(x)},f(x),g(x)\in \mathbb {C} (x)}$  的函数是否有初等原函数。由刘维尔定理可以得到，这等价于判断是否存在 ${\displaystyle a(x)\in \mathbb {C} (x)}$  使得

${\displaystyle f(x)=a'(x)+a(x)g'(x).}$ 

若存在这样的 ${\displaystyle a(x)}$ ，那么其原函数即为 ${\displaystyle a(x)e^{g(x)}}$ 。

例如对于 ${\displaystyle e^{x^{2}}}$ ，（即${\displaystyle f(x)=1,g(x)=x^{2}}$ ），应有

${\displaystyle 1=a'(x)+2x\cdot a(x).}$ 

如果存在这样的 ${\displaystyle a(x)}$ ，那么一定可以作部分分式展开：

${\displaystyle a(x)=p(x)+\sum _{j=1}^{q}\sum _{k=1}^{e_{j}}{\frac {A_{jk}}{(x-r_{j})^{k}}}}$ 

其中 ${\displaystyle p(x)\in \mathbb {C} [x]}$  是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的多项式，${\displaystyle r_{j}\in \mathbb {C} }$  是 ${\displaystyle a(x)}$  分母多项式的根，系数 ${\displaystyle A_{jk}\in \mathbb {C} }$  被唯一确定。 代入前式即可证明这样的 ${\displaystyle a(x)}$  不存在（因为 ${\displaystyle 2x\cdot a(x)}$  会增加多项式的次数，故对照左端项应有 ${\displaystyle p(x)=0}$ ，而对 ${\displaystyle 1/(x-r_{j})^{k}}$  求导会增加分母的次数，对照左端项得到这一部分也应该是 0，这样就得到矛盾 1=0）。从而函数 ${\displaystyle e^{x^{2}}}$  不存在初等原函数。

借助完全类似的方法，我们可以证明 ${\displaystyle e^{x}/x}$ （对应 ${\displaystyle 1/x=a'+a}$ ），以及 ${\displaystyle \sin(x)/x}$  也不存在初等原函数. 更进一步，对 ${\displaystyle e^{x}/x}$  换元可以得到 ${\displaystyle e^{e^{x}}}$  或者 ${\displaystyle 1/\ln(x)}$ ，于是得到后两个函数也是不存在初等原函数的。^[4]

• Risch算法