精简

在线性代数中，精简提供了运用简单一系列方程和矩阵的规则改变它们变成较为简单的形式。在矩阵的情况下，其过程包含矩阵的每一行或每一列，通常分别被简称为“行精简”或“列精简”。通常精简的目标用在变化矩阵中有它的“简化行阶梯形矩阵”之用法^[3]。这些都是高斯消元法之全域。

在微积分学中，精简提供了分部积分法的使用技巧来评估每一类型的积分并透过精简它们成为较为简单的形式。

在动态分析中，静态精简可提供精简自由度的数量^[4]，也可被使用于有限元素分析的动态中所提供线性代数的问题简单化。由于静态精简需要几个反转的步骤，并且它是昂贵的矩阵运算以及容易出现一些错误的解决程式。考虑到下列系统关于有限元素分析问题的线性方程式：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$ 

由K、x、f所组成的子矩阵，假设F₂确定为0，x₁为期望值，K可被精简成下列系统的等式

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,reduced}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$ 

K_11,reduced可透过写出的方程组得到如下：

${\displaystyle K_{11}x_{1}+K_{12}x_{2}=F_{1}\quad {\text{(Eq. 1)}}}$ 

${\displaystyle K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}=0.\quad {\text{(Eq. 2)}}}$ 

等式（2）可解得${\displaystyle x_{2}}$ （假设${\displaystyle K_{22}}$ 的可逆性）

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$ 

代入（1）得

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$ 

因此

${\displaystyle K_{11,reduced}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$