梅滕斯猜想

梅滕斯猜想数论中的一个猜想,是有关数论中梅滕斯函数上下界的猜想,由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特弗朗茨·梅滕斯(Franz Mertens)的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想,不过已被安德鲁·奥德里兹科英语Andrew Odlyzko赫尔曼·特里尔英语Herman te Riele于1985年证否。

图示为梅滕斯函数的前10000项与默滕斯猜想中的界限。梅滕斯在计算梅滕斯函数的前一万个值之后,猜想的绝对值恒小于,此猜想被安德鲁·奥德里兹科(Andrew Odlyzko)与赫尔曼·特里尔(Herman te Riele)于1985年证否

定义

数论中,有梅滕斯函数

 

其中, 表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指,对所有 ,有

 

猜想的证否

汤姆斯·斯蒂尔吉斯在1885年声称已证明比梅滕斯猜想要弱的结果,也就是 有界,但其结果没有发表[1](若用 的方式表示,梅滕斯猜想是指 

安德鲁·奥德里兹科英语Andrew Odlyzko赫尔曼·特里尔英语Herman te Riele在1985年证否了梅滕斯猜想,用的是LLL格缩减算法英语Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm[2][3]

  and  

之后也证实了第一个反例小于  [4],大于1016[5],后来的上限已降到 [6]或近似 ,但还没找到确切的反例数值。

参考资料

  1. ^ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (编). The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics. New York, NY: 施普林格科学+商业媒体. 2007: 69. ISBN 978-0-387-72125-5. Zbl 1132.11047. 
  2. ^ Odlyzko & te Riele (1985)
  3. ^ Sandor et al (2006) pp.188–189
  4. ^ Pintz (1987)
  5. ^ Hurst, Greg. Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture. 2016. arXiv:1610.08551  [math.NT]. 
  6. ^ Kotnik and Te Riele (2006)

参考文献

  • T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "The Mertens Conjecture Revisited[永久失效链接]", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pp. 156-167.
  • T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "On the order of the Mertens function", Experimental Mathematics 13, pp. 473-481
  • F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761-830.
  • Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2012-09-08], ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR783538, (原始内容存档 (PDF)于2015-09-12) 
  • Stieltjes, T. J., Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79, Baillaud, B.; Bourget, H. (编), Correspondance d’Hermite et Stieltjes, Paris: Gauthier—Villars: 160–164, 1905 
  • 埃里克·韦斯坦因. Mertens conjecture. MathWorld. 
  • Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag: 187–189, 2006, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300 
  • Pintz, J. An effective disproof of the Mertens conjecture (PDF). Astérisque. 1987,. 147–148: 325–333 [2021-10-16]. Zbl 0623.10031. (原始内容存档 (PDF)于2021-04-15).