螺旋曲面

螺旋曲面曾在1774年及1776年分别由莱昂哈德·欧拉及Jean Baptiste Meusnier描述过^[1]，其英文Helicoid可以看出它和螺旋线（helix）之间的相关性：针对螺旋曲面上的每一点，都存在一个通过该点的螺旋线，且整条螺旋线都落在螺旋曲面上。若仔细的观察螺旋曲面，且螺旋曲面够长的话，会发现若选定一个小区域的曲面，在螺旋曲面的前方及后方至少各会找到一个曲面和原曲面平行。

螺旋曲面也是直纹曲面（及正劈锥曲面（英语：Right conoid）），表示它可以表示为一条直线在指定方式移动及转动下产生的轨迹。而针对螺旋曲面上的每一点，都存在一条在螺旋曲面上的直点通过该一点。欧仁·查尔斯·加泰兰（英语：Eugène Charles Catalan）在1842年证明了只有螺旋曲面和平面是同时为直纹曲面及最小曲面的曲面^[2]。

螺旋曲面和悬链曲面是属于螺旋-悬链曲面极小曲面族的成员之一。

螺旋曲面的形成方式类似阿基米德式螺旋抽水机，但在各方面延伸到无限大，可以用以下笛卡儿坐标系下的参数式表示：

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$ 

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$ 

${\displaystyle z=\theta ,\ }$ 

其中ρ和θ范围由负无限大到正无限大，而α为常数。若α为正值，螺旋曲面为逆时针螺旋，反之则为顺时针螺旋。

螺旋曲面的主曲率为${\displaystyle \pm 1/(1+\rho ^{2})\ }$ ，其主曲率的和为其平均曲率（数值为零，因此为极小曲面），主曲率的乘积为高斯曲率。

螺旋曲面和平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 同胚。若要确认这一点，可以将α由原先的数值连续的减到零，在每一个α数值下，都可以找到一个对应的螺旋曲面。当α为零时，螺旋曲面变成一个垂直的平面。

若令h为z方向的最大值，而R为半径，则螺旋曲面的面积为${\displaystyle \pi [R{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})+h^{2}*\ln((R+{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})/h)]}$ 。

螺旋曲面和悬链曲面是局部等距的曲面。

• 迪尼曲面（英语：Dini's surface）
• 正劈锥曲面（英语：Right conoid）
• 直纹曲面