平均曲率

令 ${\displaystyle p}$  是曲面 ${\displaystyle S}$  上一点，考虑 ${\displaystyle S}$  上过 ${\displaystyle p}$  的所有曲线 ${\displaystyle C_{i}}$ 。每条这样的 ${\displaystyle C_{i}}$  在 ${\displaystyle p}$  点有一个伴随的曲率 ${\displaystyle K_{i}}$ 。在这些曲率 ${\displaystyle K_{i}}$  中，至少有一个极大值 ${\displaystyle \kappa _{1}}$  与极小值 ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ，这两个曲率 ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$  称为 ${\displaystyle S}$  的主曲率。

${\displaystyle p\in S}$  的平均曲率是两个主曲率的平均值（斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章），由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值^[3]，故有此名。

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}$ 

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

${\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,}$ 

这里 ${\displaystyle E,F,G}$  是第一基本形式的系数，${\displaystyle L,M,N}$  为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 （斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章），一个超曲面 ${\displaystyle T}$  的平均曲率为：

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .}$ 

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 ${\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}$ 。

另外，平均曲率 ${\displaystyle H}$  可以用共变导数 ${\displaystyle \nabla }$  写成

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,}$ 

这里利用了高斯-Weingarten 关系，${\displaystyle X(x,t)}$  是一族光滑嵌入超曲面，${\displaystyle {\vec {n}}}$  为单位法向量，而 ${\displaystyle g_{ij}}$  是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 ${\displaystyle S}$  平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

有些作者会将平均曲率直接定为第二基本形式的迹（而并未${\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}$ ）。然而，这并不影响一个曲面是否成为一个极小曲面的条件。

3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

${\displaystyle 2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,}$ 

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 ${\displaystyle z=S(x,y)}$ ，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

${\displaystyle {\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}}$ 

如果曲面还是轴对称的，满足 ${\displaystyle z=S(r)}$ ，则

${\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\ }$ 

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

${\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}$ 

这出现于杨-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 ${\displaystyle H_{f}}$ ；两个曲率等于小滴半径的倒数 ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}}$ 。

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括Costa极小曲面（英语：Costa's minimal surface）（1982年）与Gyroid（英语：Gyroid）（1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面（陈维桓 2006，4.6节）。

• 高斯曲率
• 平均曲率流
• 逆平均曲率流
• 面积公式第一变分

• 斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999,  .
• 陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9 请检查|isbn=值 (帮助)