刚性方程

数学领域中,刚性方程(stiffness equation)是指一个微分方程,其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定,只要时间间隔略大,其解就会不稳定。目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程,然而粗略而言,若此方程式中包含使其快速变动的项,则其为刚性方程。

在积分微分方程时,若某一区域的解曲线英语Integral curve的变化很大,会希望在这个区域的积分间隔密一些,若另一区域的曲线近似直线,且斜率接近零,会希望在这个区域的积分间隔松一些。不过针对一些问题,就算曲线近似直线,仍然需要用非常小的积分间隔来积分,这种现象称为“刚性”。有时可能会出现两个不同问题,一个有“刚性”,另一个没有,但两个问题却有同一个解的情形。因此“刚性”不是解本身的特性,而是微分方程的特性,也可以称为是刚性系统

范例

 
在求解一个刚性常微分方程时,用显式方法出现的不稳定情形

考虑下面的初值问题

 

其精确解是

 ,并且显然当  

会希望数值解能够具有相同的特性。

若以欧拉方法来求数值解,则使用不同的步长(step size)将会得到不同的结果。第一种,步长 欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为 时,得到的结果在图的范围以内。但是它依然在0附近震荡,并且不可能表示精确的解。

梯形法,即两阶段亚丹士-莫耳吞法英语Linear multistep method,表达为

 

其求得的结果比欧拉法的结果要好很多。如上图所示,数值结果单调地减少到零,如同精确解一样。

特征

刚性系统的特色是该系统所有特征值的实部均为负数,并且其中特征值实部绝对值中,最大和最小的比值远大于1。

龙格-库塔法

将龙格-库塔法应用至测试方程 ,可以得到如 的形式,并可归纳出 ,其中 称为稳定性函数。因此 的条件等价于 。这启发了绝对稳定区域(有时简称为稳定区域)的定义,亦即集合 

若一个方法的稳定区域包含 (即左半平面),则称该方法为A-稳定英语A-stability

例子: 欧拉与梯度法

 
粉红色的圆形区域为欧拉方法的稳定区域。
 
粉红色的区域为梯形法的稳定区域。

参见

参考资料

  • Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532 .
  • Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969 .
  • Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 .
  • Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 .
  • Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026 .

外部链接