费曼－卡茨公式

费曼－卡茨公式建立在若干对参数函数的限制性条件下。这些条件主要是要求参数函数足够“平滑”与“规则”，使得随机微分方程和偏微分方程的解存在。

首先假设偏微分方程的解函数 u 存在。卡拉查斯和史雷夫在1988年证明了：当其余函数及 u 满足以下条件

1. 参数函数${\displaystyle \mu ,\ \sigma ,\ \psi ,\ V,\ f}$ 以及函数u 都是连续函数。
2. 函数u 关于x 变量保持多项式增长，即存在正常数M和c，使得对所有的x，都有：

   ${\displaystyle \ u(x,t)\leqslant M(1+|x|^{c})}$ 

3. 参数函数 ${\displaystyle \psi }$  和 ${\displaystyle f}$  都要么是正值函数，要么也满足类似以上的多项式增长条件。
4. 参数函数 ${\displaystyle V}$  有下界，并且
5. 参数函数 ${\displaystyle \mu ,\ \sigma }$  满足关于x 变量的利普希茨条件，即存在常数K，使得对所有不相等的x 和y，都有：

   ${\displaystyle |\sigma (x,t)-\sigma (y,t)|+|\mu (x,t)-\mu (y,t)|\leqslant K|x-y|}$ 

的时候，解函数可以用费曼－卡茨公式表达为条件期望的形式^[1]。这些条件中并不保证解的存在性。要保证后者，需要更强的条件：

1. 参数函数 ${\displaystyle \mu ,\ \sigma }$  有界，并且局部地满足关于x 变量和t 变量的利普希茨条件（即常数K可以和x相关）。
2. 对任意的t，参数函数 ${\displaystyle \sigma }$  都满足赫尔德连续条件，即存在与t无关的常数H和介于0与1之间的常数 ${\displaystyle \alpha }$ ，使得

   ${\displaystyle |\sigma (x,t)-\sigma (y,t)|\leqslant K|x-y|^{\alpha }}$ 

3. 参数函数 ${\displaystyle V}$  有界，并且对任意的t，都局部地满足赫尔德连续条件。
4. 对任意的t，参数函数 ${\displaystyle f}$  都局部地满足赫尔德连续条件，并关于x 变量满足多项式增长条件。
5. 参数函数 ${\displaystyle \psi }$  关于x 变量满足多项式增长条件。

以上条件由弗里德曼在1975年给出。1980年克里洛夫提出用更简洁（同时更强）的条件代替，可以是：

所有的参数函数${\displaystyle \mu ,\ \sigma ,\ \psi ,\ V,\ f}$ 满足利普希茨条件并且二次连续可导，同时满足多项式增长条件；函数V有下界。

在以上的条件下，偏微分方程的解唯一存在，并且满足费曼－卡茨公式的期望表达，同时也满足多项式增长条件^[1]。

为简化起见，以下只证明${\displaystyle f(x,t)=0}$ 的情况。 设偏微分方程的解函数为 ${\displaystyle u(x,t)}$ 。对以下函数${\displaystyle Y_{s}=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }u(X_{s},s)}$  使用伊藤公式，可以得到：

${\displaystyle dY_{s}=de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }u(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\,du(X_{s},s)+de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }du(X_{s},s)}$ 

由于 ${\displaystyle de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }=-V(X_{s})e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\,ds}$ ，等式右边第三项是高阶无穷小${\displaystyle o(dt)}$ ，因此可以忽略。再一次对${\displaystyle du(X_{s},s)}$  使用伊藤公式，会得到

${\displaystyle dY_{s}=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\,\left(-V(X_{s})u(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial x}}(X_{s},s)+{\frac {\partial u}{\partial t}}(X_{s},s)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(X_{s},s)\right)\,ds}$ 

${\displaystyle \;+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\sigma (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial x}}(X_{s},s)\,dW_{s}.}$ 

等式右边的第一项里的括号中的式子恰好是微分方程的左边，因此等于0。剩下的是：

${\displaystyle dY_{s}=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\sigma (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial x}}(X_{s},s)\,dW_{s}.}$ 

将这个等式的两边从 ${\displaystyle t}$  积分到 ${\displaystyle T}$ ，可以得到：

${\displaystyle Y_{T}-Y_{t}=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\sigma (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}(X_{s},s)\,dW_{s}.}$ 

两边取在已知${\displaystyle X_{t}=x}$ 下的条件期望，并且注意到等式右边是一个伊藤积分，因此右边等于0。所以 ${\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=u(x,t)}$ 。注意到

${\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }u(X_{T},T)|X_{t}=x]=E[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }\psi (X_{T}))|X_{t}=x]}$ 

就可以得出需要证明的结论^[2]。

• 以上的条件期望形式的公式对多维的伊藤过程也适用。与之相应，解函数${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }$ 相对的偏微分方程是：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}x_{j}}}-r(x,t)u=f(x,t),}$ 

其中的

${\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}$ 

也就是说 ${\displaystyle \gamma =\sigma \,\sigma ^{\prime }}$ ，其中${\displaystyle \sigma ^{\prime }}$ 是矩阵 ${\displaystyle \sigma }$ 的转置矩阵^[3]。

• 将解函数表示为条件期望的行使后，可以使用蒙特卡罗或准蒙特卡罗方法来求出近似的数值解。
• 此定理最早由卡茨于1949年发表^[4]，最初的费曼－卡茨公式是作为一个解决某些维纳泛函的分布的公式提出的。假设${\displaystyle \ x(\tau )}$  是满足初始条件 ${\displaystyle \ x(0)=0}$ 的某个扩散过程。现要求出以下函数的期望值

${\displaystyle e^{-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }}$ 

费曼－卡茨公式说明这个期望值等价于对某个扩散方程（抛物型偏微分方程）的解的积分。特别地，当条件${\displaystyle \ uV(x)\geqslant 0}$ 满足时，若设${\displaystyle \ w(x,0)=\delta (x)}$ 并满足${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}$ ，则有

${\displaystyle E\left(e^{-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }\right)=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}$ 

费曼－卡茨公式也可以阐释成对某个特定形式的泛函积分求值的一种方法。如果：

${\displaystyle I=\int f(x(0))e^{-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt}g(x(t))\,Dx}$ 

其中的积分对所有的随机漫步路径取得，那么

${\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}$ 

其中${\displaystyle \ w(x,t)}$ 是抛物型偏微分方程 ${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w,}$  的解。并满足初始条件 ${\displaystyle \ w(x,0)=f(x)}$ .

• 伊藤引理
• Kunita–Watanabe定理
• 吉萨诺夫定理（英语：Girsanov theorem）
• 科尔莫戈罗夫前向方程（英语：Kolmogorov theorem）（也称为Fokker–Planck方程）

• Simon, Barry. Functional Integration and Quantum Physics. Academic Press. 1979. 
• Pham, Huyên. Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications. Springer-Verlag. 2009.