达布变换(Darboux Transformation)是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程,高维AKNS系统,sine-Gordon方程,sinh-Gordon方程,高阶Broer Kaup系统的精确解方面,有广泛用途。
1882年,达布研究一维薛定谔方程的特征值问题:[1]

他发现作一个变换:
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其中
其中
是
时一维薛定谔方程的解,
则当
时,
和
必定满足另一个相关的一维薛定谔方程:
λ
达布变换也称为Bäcklund变换,其特点在于根据已知的一个解作为种子,经过变换之后,获得完全可积的新方程组,由此得出另一个新的解。[2]。
1977年Wahlquist等学者发现[3],达布变换也适用于KdV方程,从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换[4]
KdV方程:
-
是其LAX对的可积条件:
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-
经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到
-
-
因此,只要从LAX对求得一个解 ,然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解,还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-3页上海科学技术出版社</ref>