在物理学里,连续性方程(英语:continuity equation)乃是描述守恒量传输行为的偏微分方程。由于在各自适当条件下,质量、能量、动量、电荷等等,都是守恒量,很多种传输行为都可以用连续性方程来描述。
连续性方程乃是局域性的守恒定律方程。与全域性的守恒定律相比,这种守恒定律比较强版。在本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达同样的点子──在任意区域内某种守恒量总量的改变,等于从边界进入或离去的数量;守恒量不能够增加或减少,只能够从某一个位置迁移到另外一个位置。
每一种连续性方程都可以以积分形式表达(使用通量积分),描述任意有限区域内的守恒量;也可以以微分形式表达(使用散度算符),描述任意位置的守恒量。应用散度定理,可以从微分形式推导出积分形式,反之亦然。
概论
微分形式
一般的连续性方程,其微分形式为
- ;
其中, 是某物理量 的密度(物理量每单位体积), 是 的流量密度(物理量每单位面积每单位时间)的向量函数(vector function), 是 的生成量每单位体积每单位时间。
假若 则称 为“源点”;假若 则称 为“汇点”。假设 是守恒量,不能够生成或湮灭(例如,电荷),则 ,连续性方程变为
- 。
从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程,这方程可以用来表示任意连续性方程。这方程也是平流方程(advection equation)的推广。
其它物理学里的方程,像电场的高斯定律或高斯重力定律(Gauss' law for gravity),都具有类似连续性方程的数学形式,但是通常不会称为连续性方程,因为 并不代表真实物理量的流动。
积分形式
在连续性方程的积分形式里,
是包住体积
的任意闭曲面。如同图内左边的曲面(以蓝色显示),
没有边界;而图内右边的曲面都有边界(以红色显示)。
根据散度定理,连续性方程可以写为等价的积分形式:
- ;
其中, 是包住体积 的任意固定(不随时间改变)闭曲面, 是在体积 内的 总量, 是在积分体积 内源点与汇点的总生成量每单位时间, 是微小面向量积分元素。
举一简例,假设 是台北101大楼, 是在大楼内某时间的总人数, 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等,共同组成的曲面,则连续性方程表明,当人们进入大楼时(代表穿过曲面的内向通量),或当大楼里面的孕妇生产时(代表源点的 ),在大楼里面的总人数会增加;而当人们离开大楼时(代表穿过曲面的外向通量),在大楼里面的总人数会减少。
电磁理论
主条目:电荷守恒
在电磁理论里,连续性方程可以视为一条经验定律,表达局域电荷守恒,或是从麦克斯韦方程组推导出的结果。“电荷连续性方程”表明,电荷密度 的变率与电流密度 的散度,两者的代数和等于零:
- 。
麦克斯韦-安培方程满足局域电荷守恒的连续性方程
麦克斯韦-安培方程为
- ;
其中, 是磁场, 是电场, 是磁常数, 是电常数。
取散度于方程的两边,由于旋度的散度必是零,
- 。
高斯定律的方程为
- 。
将这方程代入,可以得到
- 。
电流是电荷的流量。连续性方程可以这样论述:假若电荷从某微小体积元素移动出去(电流密度的散度是正值),则在那微小体积元素内的总电荷量会减少,电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉,连续性方程就是电荷守恒。
四维电流
四维电流密度定义为
- ;
其中, 标记哪一个时空坐标, 是光速。
电荷守恒可以简洁地表达为四维电流密度的散度,即连续性方程
- ;
其中, 。
流体力学
在流体力学里,连续性方程表明,在任何稳定态过程中,质量进入物理系统的速率等于离开的速率。[1][2]。连续性方程类比于电路学的基尔霍夫电流定律。“质量连续性方程”的微分形式为[1]
- ;
其中, 是流体质量密度, 是流速向量场,两者相乘后为质量通量。
假设流体是不可压缩流,则密度 是常数,质量连续性方程简化为体积连续性方程:[1]
- 。
这意味着,在所有位置,速度场的散度等于零;也就是说,局域的体积变率为零。
在另一方面,纳维-斯托克斯方程是一个向量连续性方程,描述动量守恒。
能量
根据能量守恒,能量只能够传输,不能够生成或湮灭,这导致“能量连续性方程”。这是在热力学定律(Laws of thermodynamics)外,又一种关于能量守恒的数学论述。以方程表达,
- ;
其中, 是能量密度(能量每单位体积), 是能量通量向量(数值大小为传输的能量每单位截面面积每单位时间,方向为截面的法向方向)。
根据傅里叶定律(Fourier's law),对于均匀传导介质,
- ;
其中, 是热导率, 是温度函数。
能量连续性方程又可写为
- 。
量子力学
主条目:概率流
在量子力学里,从概率守恒可以得到“概率连续性方程”。设定一个量子系统的波函数为 。定义概率流 为
- ;
其中, 是约化普朗克常数, 是质量, 是 是共轭复数, 是取括弧内项目的复值。
连续方程与概率保守定律
概率流满足量子力学的连续方程:
- ;
其中, 是概率密度。
应用高斯公式,等价地以积分方程表示,
- ;(1)
其中, 是任意三维区域, 是 的边界曲面。
这就是量子力学概率守恒定律的方程。
方程 (1) 左边第一个体积积分项目(不包括对于时间的偏微分),即是测量粒子位置时,粒子在 内的概率。第二个曲面积分是概率流出 的通量。总之,方程 (1) 表明,粒子在三维区域 内的概率对于时间的微分,加上概率流出三维区域 的通量,两者的总和等于零。
连续方程导引
测量粒子在三维区域 内的概率 是
- 。
概率对于时间的导数是
- ;(2)
假设 的含时薛定谔方程为
- ;
其中, 是位势。
将含时薛定谔方程代入方程 (2) ,可以得到
- 。
应用一则向量恒等式,可以得到
- 。
这方程右手边第一个项目与第三个项目互相抵销,将抵销后的方程代入,
- 。
将概率密度方程与概率流定义式代入,
- 。
这相等式对于任意三维区域 都成立,所以,被积项目在任何位置都必须等于零:
- 。
参阅
参考文献