拉莫尔方程

推导1：数学逼近

首先必须要找到电场和磁场的形式，可使用以下形式表示（更完整推导请参见李纳-维谢势）：

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)=q\left({\frac {{\vec {n}}-{\vec {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\vec {\dot {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}$ 

以及

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {n}}\times {\vec {E}}}$ 

此处

${\displaystyle \mathbf {\beta } }$ 是电荷速度和光速c的商

${\displaystyle \mathbf {\dot {\beta }} }$ 是电荷加速度和光速c的商

${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$ 方向上的单位向量

${\displaystyle R}$ 是${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$ 方向的标量

而以下公式右方则是计算推迟时间

${\displaystyle t'=t-{R \over c}}$ 

场方程本身会分离为速度场和加速度场。速度场只与β相关，而加速度场则和${\displaystyle \beta \,}$ 与${\displaystyle {\dot {\beta }}}$ 之间的夹角相关。因为速度场和${\displaystyle R^{-2}}$ 成正比，会使它随距离增加快速下降。另一方面，加速度场和${\displaystyle R^{-1}}$ 成正比，代表它随距离增加的下降率远低于速度场。正因为如此，加速度场代表了辐射场，并且从电荷携带了大多数的能量。

而辐射场的能量通量密度可使用坡印亭向量得知：

${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}_{a}\times {\vec {B}}_{a}}$ 

上式中下标'a'则强调是在加速度场的分量。以磁场和电场关系进行取代，同时假设粒子在特定时间${\displaystyle t_{r}}$ 是静止的，可得到：

${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {{\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {\dot {\beta }}})}{R}}\right|^{2}.}$ 

当${\displaystyle \beta \left(t_{r}\right)\neq 0}$ 时证明会较困难（参见Griffiths）

如果让加速度和观测者方向的向量夹角相等于${\displaystyle \theta }$ ，就可用以下公式表示：

${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}R^{2}}}\sin ^{2}{\theta }|{\vec {\dot {V}}}|^{2}{\hat {n}}.}$ 

其实这是电荷辐射在每单位立体角下的单位功率。可使用积分计算完整立体角下的功率，即：

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}|{\vec {\dot {V}}}|^{2}}{c^{3}}}.}$ 

以上公式就是非相对论性下有加速度电荷所释放辐射的功率，功率大小与加速度相关。这公式明确表示加速度较高电荷会产生较强辐射，我们可以期望辐射场和加速度相关。

推导2：爱德华·珀塞尔逼近

此方法出自爱德华·珀塞尔《电与磁》书中。^[1]以下的解释可帮助了解推导意义：

这种逼近法是基于光速是有限的。一个以等速度运动的带电粒子有径向的电场${\displaystyle E_{r}}$ （和电荷的距离以${\displaystyle R}$ 表示），并总是显现电荷在未来的位置，同时没有切线方向的电场，即${\displaystyle E_{t}=0}$ 。电荷的未来位置因为等速度运动的关系，是完全确定的。当电荷的速度改变时（或者说是在很短的时间内反弹），未来位置就会“跳跃”，所以在这个时候就会在一个“新的位置”上产生一个径向电场${\displaystyle E_{r}}$ 。由于电场必须是连续的，因此会出现一个切线方向的电场${\displaystyle E_{t}}$ （和径向电场不同的是，切向电场是和${\displaystyle 1/R^{2}}$ 成正比）。

因此，距离电荷很远处的径向分量相对于切向分量是可以忽略的，此外，和${\displaystyle 1/R^{2}}$ 成正比的场是不能发射辐射的，因为和它们相关的坡印亭向量是和${\displaystyle 1/R^{4}}$ 成正比。

切线方向分量可以表示为（SI单位制）：

${\displaystyle E_{t}={{ea\sin(\theta )} \over {4\pi \varepsilon _{0}c^{2}R}}.}$ 

为了得到拉莫方程，必须要对所有的角度进行积分，在距离电荷的${\displaystyle R}$ 值极大时，和${\displaystyle E_{t}}$ 相关的坡印亭向量将是：

${\displaystyle \mathbf {S} ={E_{t}^{2} \over \mu _{0}c}\mathbf {\hat {r}} ={{e^{2}a^{2}\sin ^{2}(\theta )} \over {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$ 

因此在SI单位制下可得到：

${\displaystyle P={{e^{2}a^{2}} \over {6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}}$ 。

上式在数学上和下式相等：

${\displaystyle P={{\mu _{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}}$ 。

协变形式

在这里必须将拉莫方程以动量的形式重新表示，接着使用四个向量的广义动量${\displaystyle P^{\mu }}$ （参见四维动量）。这里我们知道功率是洛伦兹不变量，所以我们要表明的是广义动量也不变，因此将会退化至低速限制条件下的拉莫方程，即：

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}m^{2}}}\left({\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right).}$ 

假设在广义坐标下的公式是：

${\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}.}$ 

当我们将四向量动量的积展开并重新排列时可得：

${\displaystyle {\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}={\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {dP}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\vec {p}}}{d\tau }}\right)^{2}}$ 

在这里已知${\displaystyle {\frac {dE}{d\tau }}={\frac {Pc^{2}}{E}}{\frac {dP}{d\tau }}=v{\frac {dP}{d\tau }}}$ 。当我们使${\displaystyle \beta }$ 趋近于0，${\displaystyle \gamma }$ 趋近于1时，${\displaystyle d\tau }$ 将会趋近于dt。因此将会成为非相对论性状态。

这是一个有趣的方程。这个方程表示由例子释放入空间的辐射功率和动量随时间的变化率有关。它也表示辐射的功率和电荷量的平方成正比，但和质量的平方成反比。因此一个带大量电荷但体积极小的粒子释放辐射功率将远大于大质量的低电荷粒子。

非协变形式

为了获得广义坐标下的非协变形式拉莫方程，首先要以${\displaystyle p^{\mu }=(\gamma mc^{2},\gamma m{\vec {v}})}$ 代入以上方程，然后推导如下（为了简化公式，以下计算将省略常数）：

${\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\left({\frac {d{\vec {p}}}{d\tau }}\right)^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}}$ 

${\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}\left({\frac {d\gamma m{\vec {v}}}{dt}}\right)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {d\gamma mc^{2}}{dt}}\right)^{2}}$ 

${\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}[-(\gamma m{\vec {\dot {v}}}+\gamma ^{3}m{\vec {v}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}{\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}mc^{2})^{2}]}$ 

${\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})+{\frac {\vec {\dot {\beta }}}{\gamma ^{2}}})^{2}]}$ 

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}\left(-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-{\frac {{\vec {\dot {\beta }}}^{2}}{\gamma ^{4}}}\right).}$ 

虽然上方的公式可以正确代表其意义，但无法立刻地明确显示辐射功率和粒子速度、加速度的关系。如果让这关系更加明确显示，就可以明显指出辐射如何和粒子的运动相关，以及不同状况下会发生什么。可以借着增加和取代以上公式中的${\displaystyle {\frac {{\vec {\beta }}^{2}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}^{2}}{\gamma ^{2}}}}$ 而得到：

${\displaystyle \gamma ^{6}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2})-{\vec {\dot {\beta }}}^{2}].}$ 

如果应用向量的话：

${\displaystyle ({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})\cdot ({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})=({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}).}$ 

然后可得到：

${\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left(({\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})^{2}\right)}$ 

这里已经取代了所有常数和之前删除的负号。

这是李纳首次于1898年计算出的结果。${\displaystyle \gamma ^{6}}$ 代表当${\displaystyle \gamma }$ 非常接近1时（即${\displaystyle \beta <<1}$ ），由粒子发射出的辐射可能是可忽略的。然而，当${\displaystyle \gamma }$ 远大于1时（即${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$ ），粒子试图以电磁波形式释放能量时将是爆炸性的。让人感兴趣的是，当速度和加速度方向是正交时，功率将会以系数${\displaystyle {\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}}$ 下降，速度越快将使功率下降越多。事实上，这似乎意味着当${\displaystyle \beta }$ 趋近于1，功率将会趋近于0（正交运动），这表示粒子以光速进行瞬间圆周运动时将不会释放辐射。然而，不可能将一个粒子加速到光速，因为${\displaystyle \gamma ^{6}}$ 的値将会爆炸性地增加到${\displaystyle \infty ^{6}}$ ，这代表粒子将会释放巨大能量，必须逐渐增加能量以维持例子持续加速，这也暗示了宇宙速度的极限就是光速。不过这样的关联性直到1905年爱因斯坦提出了狭义相对论的论文以后才被建立。

而我们可以用李纳的结果预测粒子在不同形式的运动下将会释放的辐射种类。

辐射反作用力

来自带电粒子的辐射会携带有能量和动量。为了满足能量和动量守恒，带电粒子会在释放电磁辐射时出现反冲现象，因此在带电粒子上必须要有一个额外的力。在非相对论性下这个力量就是阿布拉罕-洛伦兹力，而在相对论性状态下则是阿布拉罕-洛伦兹-狄拉克力。

原子物理

在经典物理中，环绕原子核的电子会被加速且释放出电磁辐射，会使电子失去能量并以螺旋路径坠入原子核。在经典力学之下原子应是不稳定的，因此稳定的电子轨道违反了经典力学的预测。这个原子物理学的问题由量子力学或随机电动力学解决。

• 原子理论
• 回旋辐射
• 电磁波方程
• 弯曲时空中的麦克斯韦方程组
• 波动方程
• 阿布拉罕-洛伦兹力
• 惠勒－费曼吸收体理论

1. ^ Purcell Simplified. [2012-10-26]. （原始内容存档于2020-12-27）. 

书目

• J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190, (1897) pp. 205–300 (Third and last in a series of papers with the same name).

• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Addison-Wesley. 1999. ISBN 9780138053260. 

• Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X. 

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0. 

• R. P. Feynman, F. B. Moringo, and W. G. Wagner. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. 1995. ISBN 0-201-62734-5.