罗斯定理

这个定理最早由爱德华·约翰·罗斯于1896年在其著作《论解析静力学及例子》一书的第82页中提出^[1]。当${\displaystyle x=y=z=2}$ 时，结论就是所谓的七分三角形。

设有一个三角形${\displaystyle ABC}$ ，而${\displaystyle D}$ 、${\displaystyle E}$  与 ${\displaystyle F}$  分别是三角形的三条边 ${\displaystyle BC}$ 、${\displaystyle CA}$ 和${\displaystyle AB}$ 上的点。如果设 ${\displaystyle BD=a}$ 、${\displaystyle CE=b}$ 、${\displaystyle AF=c}$ ，以及${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}}$ ${\displaystyle =x}$ 、${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}}$ ${\displaystyle =y}$ 、 ${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}}$ ${\displaystyle =z}$ ，那么右图中红色的小三角形${\displaystyle \scriptstyle PQR}$ 的面积占三角形${\displaystyle ABC}$ 面积的比例就是：

${\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}}$ 

这个三角形${\displaystyle \scriptstyle PQR}$ 是由线段${\displaystyle AD}$ 、${\displaystyle BE}$ 和${\displaystyle CF}$ 围出来的，或者可以看成将三角形${\displaystyle ABC}$ 沿着${\displaystyle BD}$ 、${\displaystyle CE}$ 、${\displaystyle AF}$ 剪裁而剩下的三角形。

当${\displaystyle BD}$ 、${\displaystyle CE}$ 、${\displaystyle AF}$ 三线交于一点，那么由三角形面积为0可以推出${\displaystyle xyz=1}$ ，这时就得到塞瓦定理。反过来如果${\displaystyle xyz=1}$ 时，中间的三角形面积为0，也就是说${\displaystyle BD}$ 、${\displaystyle CE}$ 、${\displaystyle AF}$ 三线交于一点，因此得出塞瓦定理的逆定理。

设三角形${\displaystyle ABC}$  面积为1。对三角形${\displaystyle ABD}$  以及直线${\displaystyle FRC}$  使用梅涅劳斯定理，得到：

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$ 

因此${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}{\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$ 

于是三角形${\displaystyle ARC}$  的面积：

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}{\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$ 

同理可得${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$  和 ${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$ 

于是三角形${\displaystyle PQR}$  的面积：

${\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}$ 

${\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}$ 

当${\displaystyle x=y=z=2}$ 时，D、E、F三点便是三角形${\displaystyle ABC}$ 三条边的三等分点。由罗斯定理可以算出围成的小三角形${\displaystyle PQR}$  的面积是原来三角形${\displaystyle ABC}$  面积的七分之一。简单来说，就是：

如果将三角形的顶点和对边的三等分点连线，那么沿线剪裁后剩下的小三角形的面积是原来的七分之一。

这里所取的三等分点必须是“同向”的，即是说不能有两点同时“更靠近”同一个顶点。

根据R.J. 库克和G.V.伍德的回忆，某次在康奈尔大学的研讨会结束后的晚宴上，有人曾经向物理学家理查德·费曼提出过这个问题。费曼几乎把所有的晚宴时间都花在证明这个命题不成立上面，但最后还是证出它是正确的^[2]。因此这个面积为原三角形面积七分之一的三角形有时也被叫作“费曼三角形”^[3]。

• （英文）H.S.M.考克瑟特. Introduction to Geometry. Wiley, New York, 1969,第二版. 
• （英文）J.S.克莱因, D.威尔曼. Yet another proof of Routh's theorem. Crux Mathematicorum 21 (1995) 37–40. 
• Routh's Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Jay Warendorff, 沃夫兰证明计划.
• 埃里克·韦斯坦因. 罗斯定理. MathWorld. 
• Hugo Steinhaus (1960) Mathematical Snapshots
• James Randi (2001) Proof by Martin Gardner （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R.J. Cook & G.V. Wood (2004) Feynman's Triangle Mathematical Gazette 88:299–302.
• Michael de Villiers (2005) Feynman's Triangle: Some Feedback and More （页面存档备份，存于互联网档案馆） Mathematical Gazette 89:107.