因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 ,及跟 有一条共同边的三角形 。若 符合皮克公式,则只要证明 加上 的 亦符合皮克公式(I),与及三角形符合皮克公式(II),就可根据数学归纳法,对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
设 和 的共同边上有 个格点。
- 的面积:
- 的面积:
- 的面积:
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三角形
证明分三部分:证明以下的图形符合皮克定理:
- 所有平行于轴线的矩形;
- 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形;
- 所有三角形(因为它们都可内接于矩形内,将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形)。
矩形
设矩形 长边短边各有 , 个格点:
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直角三角形
易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等,且 , 相等。设其斜边上有 个格点。
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一般三角形
逆运用前面对2个多边形的证明:
既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P,T符合皮克公式,则 加上 的 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。
于是显然有,只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候,才会使得在直角三角形符合的同时,矩形也符合。