素数阶乘素数

素数阶乘素数（又称素数阶乘質数或質数阶乘素数）是和某个素数阶乘相邻的素数，即它是某个素数阶乘的增一或减一。

pn的素数阶乘记作pn#。
pn# − 1是素数，对n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... （OEIS数列A057704）
pn# + 1是素数，对n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...（A014545）

前几个素数阶乘素数是：

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209

截至2010年 (2010-表达式错误：无法识别的符号“某”。)，我们所知道的最大素数阶乘素数是843301# - 1，它有365,851位数，由PrimeGrid（英语：PrimeGrid）发现。[1]

素数阶乘素数也能用来证明素数是无限的。 首先，假设前n个素数是唯一存在的素数。如果pn# + 1或pn# − 1是素数阶乘素数，这意味着有比第n个素数更大的素数（即使不是素数，也能证明素数无穷，但不那么直接。这两个数除以前n个中的任何一个素数 p 时，都有余数 1 或 p−1 ，因此不整除其中任何一数）。

事实上，欧几里得的证明并没有假设一个有限集合包含所有素数的存在。相反，他说： 

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

意思是： 考虑任何素数的有限集合（不一定是一开始的素数，例如，它可以是集合{3，11，47}），然后从两个方面得到这样的结论：至少存在一个不在该集合的素数。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）[2]

参见

参考文献

  • A. Borning, "Some Results for   and  " Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
  • Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial （页面存档备份，存于互联网档案馆） at The PrimePages（英语：PrimePages）.
  • 埃里克·韦斯坦因. Primorial Prime. MathWorld. 
  • Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197 - 203.
  • Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.
  1. ^ Primegrid.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）; official anouncement, 24 December 2010
  2. ^ A. Borning, "Some Results for   and  " Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.