素数阶乘

第n个素数p_n的素数阶乘p_n#定义为前n个素数的积：^[1][2]

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$ 

其中p_k是第k个素数。

例如，p₅#代表前五个素数的乘积：

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$ 

前几个素数阶乘p_n#是：

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, ...（OEIS数列A002110）

并定义p₀# = 1 为空积。

素数阶乘p_n#的渐进递增为：

${\displaystyle p_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]}$ ^[2]

其中：

• "exp"是指数函数e^x
• "o"是大O符号^{[2][注 2]}

一般情况下，对于正整数n的一素数阶乘n#（或称作自然素数阶乘）也可以被定义为：^[1][3]

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$ 

其中，π(n)是素数计数函数（OEIS数列A000720），表示小于或等于某个实数n的素数的个数。

它等于：

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is composite}}\end{cases}}}$ 

• prime指素数，composite指合成数

例如，12# 代表素数≤ 12：

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$ 

因为π(12) = 5，所以这个算式也可以写成：

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310}$ 

前几个自然素数阶乘n#是：

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310

不难发现当n为合成数时，n#的值总是与(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p₅# = 11#，因为12为合成数。

n#的自然对数是第一个切比雪夫函数（英语：Chebyshev function），记为${\displaystyle \theta (n)}$  或 ${\displaystyle \vartheta (n)}$ 。^[4]

素数阶乘n#的渐进递增为：

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n}$ 

素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。（参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式）

^{[注 3]}

黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function ${\displaystyle J_{k}(n)}$ 表示：

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$ 

• 素数（质数）
• 阶乘
• 欧几里得数