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在数学中,平衡点(equilibrium point)是相对微分方程或差分方程的概念,多指微分方程的常数解(constant solution)。
定义
对于微分方程
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若 对任意 都成立,则称 为此微分方程的平衡点。
类似地,对于差分方程
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若 对 都成立,则称 为此差分方程的平衡点。
分类
微分方程可以被线性化为以下形式
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其中 是 在平衡点 处的雅可比矩阵。通过观察矩阵 的特征值的符号,可以判断平衡点 的稳定性。
若 的所有的特征值的实部均不为0,则 被称为双曲平衡点。若所有特征值的实部均为负值,则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的实部为正值,则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的实部为正,且至少有一个特征值的实部为负,则此平衡点是鞍点。
关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设 是 在平衡点 处的雅可比矩阵。
若 的所有的特征值的模均不为1,则 被称为双曲平衡点。若所有特征值的模均为小于1,则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的模大于1,则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的模大于1,且至少有一个特征值的模小于1,则此平衡点是鞍点。